Determine
, onde a função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
da função dada. As informações fornecidas são:
A tarefa única é calcular a derivada
.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto — ela é a forma mais direta aqui porque
é produto de duas funções. A regra do produto diz o seguinte: se
e
são funções diferenciáveis, então
Explicando com carinho:
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
. Ou seja, derivamos a primeira mantendo a segunda, somamos ao produto da primeira pela derivada da segunda.
Também vamos usar a regra do poder (power rule) para derivadas de monômios: para todo inteiro
,
E a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Exemplos rápidos:
,
,
.
Passo 3
Identifico as duas funções que se multiplicam:
Agora calculo as derivadas de cada uma usando as regras acima:
Derivando :
Derivando
Derivando
:
Passo 4
Aplico a regra do produto:
Substituindo
:
Agora vamos expandir e simplificar esse resultado passo a passo para obter um polinômio mais simples.
Passo 5
Expansão do primeiro produto
. Multiplico termo a termo:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Expansão do segundo produto
. Multiplicando termo a termo:
Somando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora somo as duas expansões obtidas nos passos anteriores:
Pronto — a derivada está simplificada como um polinômio de quarto grau.]