Determine f^{\prime}(x), onde a função f dada por:
f(x)=\left(x^{2}+2 x-1\right)\left(x^{3}-4 x^{2}+2\right) \quad

Passo 1

O enunciado pede para determinar f^{\prime}(x) da função dada. As informações fornecidas são:
f(x)=\left(x^{2}+2x-1\right)\left(x^{3}-4x^{2}+2\right).
A tarefa única é calcular a derivada f^{\prime}(x).

Passo 2

Vamos usar a regra do produto — ela é a forma mais direta aqui porque f é produto de duas funções. A regra do produto diz o seguinte: se \,u(x) e \,v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Explicando com carinho: u' é a derivada de u em relação a x, e v' é a derivada de v em relação a x. Ou seja, derivamos a primeira mantendo a segunda, somamos ao produto da primeira pela derivada da segunda.
Também vamos usar a regra do poder (power rule) para derivadas de monômios: para todo inteiro n,
\frac{d}{dx}\,x^{n}=n x^{n-1}.
E a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Exemplos rápidos: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \frac{d}{dx}(2x)=2, \frac{d}{dx}(5)=0.

Passo 3

Identifico as duas funções que se multiplicam:
u(x)=x^{2}+2x-1,\qquad v(x)=x^{3}-4x^{2}+2.
Agora calculo as derivadas de cada uma usando as regras acima:
Derivando u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-1\bigr)=2x+2+0=2x+2.
Derivando v:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2\bigr)=3x^{2}-8x+0=3x^{2}-8x.

Passo 4

Aplico a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=(2x+2)(x^{3}-4x^{2}+2)+(x^{2}+2x-1)(3x^{2}-8x).
Agora vamos expandir e simplificar esse resultado passo a passo para obter um polinômio mais simples.

Passo 5

Expansão do primeiro produto (2x+2)(x^{3}-4x^{2}+2). Multiplico termo a termo:
\begin{aligned} 2x\cdot x^{3}&=2x^{4},\\\\ 2x\cdot(-4x^{2})&=-8x^{3},\\\\ 2x\cdot 2&=4x,\\\\ 2\cdot x^{3}&=2x^{3},\\\\ 2\cdot(-4x^{2})&=-8x^{2},\\\\ 2\cdot 2&=4. \end{aligned}
Somando os termos semelhantes:
(2x+2)(x^{3}-4x^{2}+2)=2x^{4}+(-8x^{3}+2x^{3})-8x^{2}+4x+4=2x^{4}-6x^{3}-8x^{2}+4x+4.

Passo 6

Expansão do segundo produto (x^{2}+2x-1)(3x^{2}-8x). Multiplicando termo a termo:
\begin{aligned} x^{2}\cdot 3x^{2}&=3x^{4},\\\ x^{2}\cdot(-8x)&=-8x^{3},\\\\ 2x\cdot 3x^{2}&=6x^{3},\\\\ 2x\cdot(-8x)&=-16x^{2},\\\\ -1\cdot 3x^{2}&=-3x^{2},\\\\ -1\cdot(-8x)&=8x. \end{aligned}
Somando os termos semelhantes:
(x^{2}+2x-1)(3x^{2}-8x)=3x^{4}+(-8x^{3}+6x^{3})+(-16x^{2}-3x^{2})+8x
=3x^{4}-2x^{3}-19x^{2}+8x.

Passo 7

Agora somo as duas expansões obtidas nos passos anteriores:
\begin{aligned} f'(x)&=\bigl(2x^{4}-6x^{3}-8x^{2}+4x+4\bigr)+\bigl(3x^{4}-2x^{3}-19x^{2}+8x\bigr)\\[4pt] &=(2x^{4}+3x^{4})+(-6x^{3}-2x^{3})+(-8x^{2}-19x^{2})+(4x+8x)+4\\[4pt] &=5x^{4}-8x^{3}-27x^{2}+12x+4. \end{aligned}
Pronto — a derivada está simplificada como um polinômio de quarto grau.]

Resposta

5x^{4}-8x^{3}-27x^{2}+12x+4

Exercícios relacionados