Determine f.
f^{\prime \prime}(x)=2 x+e^{x}, f(0)=5, f^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar f sabendo que sua segunda derivada é \,f''(x)=2x+e^{x}\, e dadas as condições iniciais \,f(0)=5\, e \,f'(0)=1\,.\n
Informações relevantes fornecidas:
f''(x)=2x+e^{x},
f(0)=5,
f'(0)=1.

Passo 2

Primeiro passo para encontrar f é integrar a segunda derivada para obter a primeira derivada f'. Vou lembrar a regra básica de antiderivação que vou usar: se \,g(x) é a derivada de G(x), então \int g(x)\,dx = G(x)+C, onde C é uma constante. Para termos concretos que usamos aqui:
\int 2x\,dx = x^2,
pois pela regra do poder \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} e aplicando para n=1 com o fator 2 2\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=x^2;
\int e^{x}\,dx = e^{x},
porque a função e^{x} é igual à sua própria derivada. Então integral da soma é soma das integrais.

Passo 3

Integro \,f''(x)=2x+e^{x}\, para obter f'(x):
f'(x)=\int (2x+e^{x})\,dx=\int 2x\,dx + \int e^{x}\,dx = x^{2}+e^{x}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Agora uso a condição \,f'(0)=1\,. Avaliando em x=0:
f'(0)=0^{2}+e^{0}+C_{1}=1+C_{1}.
Como f'(0)=1, segue que
1+C_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=0.
Portanto
f'(x)=x^{2}+e^{x}.

Passo 4

Agora integro f'(x) para obter f(x). Novamente uso antiderivação termo a termo. Lembrando que \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} pela regra do poder:
f(x)=\int (x^{2}+e^{x})\,dx = \int x^{2}\,dx + \int e^{x}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+e^{x}+C_{2},
onde C_{2} é uma outra constante de integração.

Passo 5

Uso a condição \,f(0)=5\, para determinar C_{2}. Avaliando em x=0:
f(0)=\frac{0^{3}}{3}+e^{0}+C_{2}=1+C_{2}.
Como f(0)=5, temos
1+C_{2}=5 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=4.

Passo 6

Substituo C_{2}=4 na expressão de f(x). Assim
f(x)=\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+4.
Faço uma checagem rápida: derivando uma vez dá f'(x)=x^{2}+e^{x} e derivando novamente f''(x)=2x+e^{x}, que coincide com o enunciado. As condições iniciais também batem: f(0)=1+4=5 e f'(0)=1.

Resposta

f(x)=\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+4

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