Determine
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
sabendo que sua segunda derivada é
e dadas as condições iniciais
e
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro passo para encontrar
é integrar a segunda derivada para obter a primeira derivada
. Vou lembrar a regra básica de antiderivação que vou usar: se
é a derivada de
, então
, onde
é uma constante. Para termos concretos que usamos aqui:
pois pela regra do poder
e aplicando para
com o fator
dá
;
porque a função
é igual à sua própria derivada. Então integral da soma é soma das integrais.
Passo 3
Integro
para obter
:
onde
é constante de integração. Agora uso a condição
. Avaliando em
:
Como
, segue que
Portanto
Passo 4
Agora integro
para obter
. Novamente uso antiderivação termo a termo. Lembrando que
pela regra do poder:
onde
é uma outra constante de integração.
Passo 5
Uso a condição
para determinar
. Avaliando em
:
Como
, temos
Passo 6
Substituo
na expressão de
. Assim
Faço uma checagem rápida: derivando uma vez dá
e derivando novamente
, que coincide com o enunciado. As condições iniciais também batem:
e
.