Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é a soma de dois termos:
e . - Devemos determinar uma função
tal que para todo no domínio (aqui o domínio óbvio é todo ).
Passo 2
Lembra do conceito: uma primitiva de
é uma função
cuja derivada é
. Uma regra muito útil é a linearidade da integral/antiderivada: a primitiva da soma é a soma das primitivas, e constantes podem sair da integral. Em símbolos:
Aplicando isso aqui, vamos procurar primitivas de cada termo separadamente:
Passo 3
Calcular
é direto: a primitiva de uma constante
é
. Logo
onde
é uma constante de integração (vamos combinar as constantes no final).
Passo 4
Agora precisamos de
. Aqui usamos substituição (uma técnica básica): escolher uma nova variável
que simplifique a expressão dentro do cosseno. Tome
Então derivando ambos os lados em relação a
obtemos
. Isso é perfeito porque o diferencial
aparece exatamente no integrando. Assim podemos reescrever a integral como
Expliquei passo a passo: escolhi
, calculei
e substituí
por
e
por
.
Passo 5
A integral
é uma primitiva clássica: a primitiva de
é
. Portanto
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, obtemos
Passo 7
Agora somamos as duas primitivas parciais obtidas nos passos anteriores:
Como
é apenas uma constante arbitrária, escrevemos uma única constante
. Assim uma primitiva geral é
Passo 8
Verificação rápida (muito útil na prova): derivando
para conferir se dá
. Usamos a regra da derivada de soma e a regra da cadeia para
:
-
-
Somando:
logo está correto.