Determine uma primitiva da função.
f(x)=2+2 x \cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f dada por
f(x)=2+2x\cos\!\big(x^{2}\big).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a soma de dois termos: 2 e 2x\cos(x^{2}).
  • Devemos determinar uma função F tal que F'(x)=f(x) para todo x no domínio (aqui o domínio óbvio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Lembra do conceito: uma primitiva de f é uma função F cuja derivada é f. Uma regra muito útil é a linearidade da integral/antiderivada: a primitiva da soma é a soma das primitivas, e constantes podem sair da integral. Em símbolos:
\text{se } f(x)=g(x)+h(x)\text{ então } \int f(x)\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx.ã
Aplicando isso aqui, vamos procurar primitivas de cada termo separadamente:
\int \big(2+2x\cos(x^{2})\big)\,dx = \int 2\,dx + \int 2x\cos(x^{2})\,dx.

Passo 3

Calcular \int 2\,dx é direto: a primitiva de uma constante a é ax. Logo
\int 2\,dx = 2x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (vamos combinar as constantes no final).

Passo 4

Agora precisamos de \int 2x\cos(x^{2})\,dx. Aqui usamos substituição (uma técnica básica): escolher uma nova variável u que simplifique a expressão dentro do cosseno. Tome
u = x^{2}.
Então derivando ambos os lados em relação a x obtemos du = 2x\,dx. Isso é perfeito porque o diferencial 2x\,dx aparece exatamente no integrando. Assim podemos reescrever a integral como
\int 2x\cos(x^{2})\,dx = \int \cos(u)\,du.
Expliquei passo a passo: escolhi u=x^2, calculei du=2x\,dx e substituí x^2 por u e 2x\,dx por du.

Passo 5

A integral \int \cos(u)\,du é uma primitiva clássica: a primitiva de \cos é \sin. Portanto
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C_{2}.

Passo 6

Voltando à variável original x usando u=x^{2}, obtemos
\int 2x\cos(x^{2})\,dx = \sin(x^{2}) + C_{2}.

Passo 7

Agora somamos as duas primitivas parciais obtidas nos passos anteriores:
\int \big(2+2x\cos(x^{2})\big)\,dx = \big(2x + C_{1}\big) + \big(\sin(x^{2}) + C_{2}\big).
Como C_{1}+C_{2} é apenas uma constante arbitrária, escrevemos uma única constante C. Assim uma primitiva geral é
F(x)=2x+\sin(x^{2})+C.

Passo 8

Verificação rápida (muito útil na prova): derivando F para conferir se dá f. Usamos a regra da derivada de soma e a regra da cadeia para \sin(x^{2}):
  • \dfrac{d}{dx}\big(2x\big)=2.
  • \dfrac{d}{dx}\big(\sin(x^{2})\big)=\cos(x^{2})\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x=2x\cos(x^{2}).
    Somando:
F'(x)=2+2x\cos(x^{2})=f(x),
logo está correto.

Resposta

F(x)=2x+\sin\big(x^{2}\big)+C

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