Determine f(t) se
F(s)=\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+4)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar f(t) (a transformada inversa de Laplace) sabendo que
F(s)=\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+4)}.
Informações relevantes fornecidas:
F(s)=\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+4)}
e a variável de Laplace é s. A função pedida é f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Escolha do método: como F(s) é uma função racional própria (grau do numerador menor que o do denominador) e o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos (s+1),(s+3),(s+4), a maneira mais direta é decompor F(s) em frações parciais do tipo
\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+4},
para depois aplicar a transformada inversa sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
Essa escolha evita contas longas e é exatamente o procedimento padrão em provas.

Passo 3

Fazer a decomposição: suponha que existam constantes A,B,C tais que
\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+3)(s+4) obtemos a identidade em s
6(s+2)=A(s+3)(s+4)+B(s+1)(s+4)+C(s+1)(s+3).

Passo 4

Encontrar A,B,C pelo método “cover-up” (avaliar em valores que anulam fatores):
  • Avaliando em s=-1:
6(-1+2)=A(-1+3)(-1+4)\quad\Rightarrow\quad 6\cdot 1 = A\cdot 2\cdot 3.
Logo
6=6A\quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Avaliando em s=-3:
6(-3+2)=B(-3+1)(-3+4)\quad\Rightarrow\quad 6\cdot(-1)=B\cdot(-2)\cdot 1.
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-6=-2B\quad\Rightarrow\quad B=3.
  • Avaliando em s=-4:
6(-4+2)=C(-4+1)(-4+3)\quad\Rightarrow\quad 6\cdot(-2)=C\cdot(-3)\cdot(-1).
Logo
-12=3C\quad\Rightarrow\quad C=-4.

Passo 5

Portanto a decomposição em frações parciais ficou
\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+4)}=\frac{1}{s+1}+\frac{3}{s+3}-\frac{4}{s+4}.
É sempre bom checar mentalmente: os coeficientes parecem razoáveis (soma dos resíduos e sinais compatíveis com os valores obtidos).

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembre que a fórmula básica é: para constante a,
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a}\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t},
onde t é a variável temporal (normalmente t\ge 0) e s é a variável da transformada. Aplicando isso a cada parcela:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s+3}\right\}=3e^{-3t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-4}{s+4}\right\}=-4e^{-4t}.

Passo 7

Somando os termos inversos obtém-se a função no domínio do tempo:
f(t)=e^{-t}+3e^{-3t}-4e^{-4t},\qquad t\ge 0.
Boa! Você fez a decomposição e aplicou a regra básica da transformada inversa — é exatamente o tipo de conta que costuma cair em prova.

Resposta

f(t)=e^{-t}+3e^{-3t}-4e^{-4t}

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