Determine
se
Passo 1
O enunciado pede para determinar
(a transformada inversa de Laplace) sabendo que
Informações relevantes fornecidas:
e a variável de Laplace é
. A função pedida é
.
Passo 2
Escolha do método: como
é uma função racional própria (grau do numerador menor que o do denominador) e o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos
, a maneira mais direta é decompor
em frações parciais do tipo
para depois aplicar a transformada inversa sabendo que
Essa escolha evita contas longas e é exatamente o procedimento padrão em provas.
Passo 3
Fazer a decomposição: suponha que existam constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
Passo 4
Encontrar
pelo método “cover-up” (avaliar em valores que anulam fatores):
- Avaliando em
:
Logo
- Avaliando em
:
Logo
- Avaliando em
:
Logo
Passo 5
Portanto a decomposição em frações parciais ficou
É sempre bom checar mentalmente: os coeficientes parecem razoáveis (soma dos resíduos e sinais compatíveis com os valores obtidos).
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembre que a fórmula básica é: para constante
,
onde
é a variável temporal (normalmente
) e
é a variável da transformada. Aplicando isso a cada parcela:
Passo 7
Somando os termos inversos obtém-se a função no domínio do tempo:
Boa! Você fez a decomposição e aplicou a regra básica da transformada inversa — é exatamente o tipo de conta que costuma cair em prova.