Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial
considerando as condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
com condições iniciais
e
. A pergunta implícita é: encontrar a solução
para
usando a transformada de Laplace. Vou assumir que
é a função degrau unitário, isto é,
para
(é o significado usual de
em problemas de resposta a entrada). As informações relevantes são:
- Equação diferencial dada:
. - Condições iniciais:
e . - Assumo
(degrau unitário).
O objetivo: calcularexplicitamente.
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (pequena aula):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por , onde é uma variável complexa. Na prática usamos tabelas de Laplace e propriedades. - Propriedades que vamos usar (para
e suas derivadas):
Aqui
é a transformada de Laplace de
;
e
são as condições iniciais conhecidas.
- A transformada do degrau unitário
é .
Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em, que é geralmente mais fácil de resolver.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação inteira. Usando as fórmulas:
Substituindo as expressões:
Agora uso as condições iniciais
e
:
Simplifico os termos numéricos:
e
. Juntando tudo:
Passo 4
Agrupo os termos que multiplicam
e os termos independentes:
Calculo a soma constante
. Portanto:
Isolo
trazendo o termo
para o outro lado:
Logo
Fatoro o denominador quadrático:
. Assim
Separe a fração em partes mais simples: note que
(portanto o termo
simplifica), e o restante fica com o termo
. Escrevo:
Isto deixa
em uma forma próxima à inversão pela tabela de Laplace, restando apenas decompor a segunda fração por frações parciais.
Passo 5
Decompondo a fração
em frações parciais:
procuro constantes tais que
procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Uso o método “cover-up” (avaliar em raízes) para achar
rapidamente:
- Para
: - Para
: - Para
:
Portanto
Passo 6
Junto isso com o termo
já presente em
. Então
Agrupo os termos do mesmo tipo (especialmente os de
):
Como
, fica
Agora uso as transformadas inversas básicas:
-
(constante 1), -
.
Aplicando a inversa termo a termo:
Passo 7
Verificação rápida (checagem de consistência — coisa que você pode fazer na prova para ganhar confiança):
- Em
: , bate com a condição inicial. - Derivando
: . Em : , também coincide.
Assim a solução encontrada está correta e satisfaz as condições iniciais.