Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2} v(t)}{d t^{2}}+6 \frac{d v(t)}{d t}+8 v(t)=2 u(t)
considerando as condições iniciais v(0)=1 e v^{\prime}(0)=-2.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d^{2} v(t)}{d t^{2}}+6 \frac{d v(t)}{d t}+8 v(t)=2 u(t)
com condições iniciais v(0)=1 e v^{\prime}(0)=-2. A pergunta implícita é: encontrar a solução v(t) para t\ge 0 usando a transformada de Laplace. Vou assumir que u(t) é a função degrau unitário, isto é, u(t)=1 para t\ge 0 (é o significado usual de u(t) em problemas de resposta a entrada). As informações relevantes são:
  • Equação diferencial dada: \displaystyle \frac{d^{2}v}{dt^{2}}+6\frac{dv}{dt}+8v=2u(t).
  • Condições iniciais: \displaystyle v(0)=1 e \displaystyle v'(0)=-2.
  • Assumo u(t)=1 (degrau unitário).
    O objetivo: calcular v(t) explicitamente.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (pequena aula):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt, onde s é uma variável complexa. Na prática usamos tabelas de Laplace e propriedades.
  • Propriedades que vamos usar (para v(t) e suas derivadas): \mathcal{L}\{v(t)\}=V(s),
\mathcal{L}\{v'(t)\}=sV(s)-v(0),
\mathcal{L}\{v''(t)\}=s^{2}V(s)-s\,v(0)-v'(0).
Aqui V(s) é a transformada de Laplace de v(t); v(0) e v'(0) são as condições iniciais conhecidas.
  • A transformada do degrau unitário u(t)=1 é \displaystyle \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
    Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em V(s), que é geralmente mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação inteira. Usando as fórmulas:
\mathcal{L}\{v''(t)\}+6\mathcal{L}\{v'(t)\}+8\mathcal{L}\{v(t)\}=2\mathcal{L}\{u(t)\}.
Substituindo as expressões:
\big(s^{2}V(s)-s\,v(0)-v'(0)\big)+6\big(sV(s)-v(0)\big)+8V(s)=2\cdot\frac{1}{s}.
Agora uso as condições iniciais v(0)=1 e v'(0)=-2:
\big(s^{2}V(s)-s\cdot 1 -(-2)\big)+6\big(sV(s)-1\big)+8V(s)=\frac{2}{s}.
Simplifico os termos numéricos: -s -(-2) = -s+2 e 6(-1)=-6. Juntando tudo:
s^{2}V(s)-s+2 +6sV(s)-6 +8V(s)=\frac{2}{s}.

Passo 4

Agrupo os termos que multiplicam V(s) e os termos independentes:
\big(s^{2}+6s+8\big)V(s) +(-s+2-6)=\frac{2}{s}.
Calculo a soma constante -s+2-6=-s-4. Portanto:
\big(s^{2}+6s+8\big)V(s) -s-4=\frac{2}{s}.
Isolo V(s) trazendo o termo -s-4 para o outro lado:
\big(s^{2}+6s+8\big)V(s)=\frac{2}{s}+s+4.
Logo
V(s)=\frac{\dfrac{2}{s}+s+4}{s^{2}+6s+8}.
Fatoro o denominador quadrático: s^{2}+6s+8=(s+2)(s+4). Assim
V(s)=\frac{\dfrac{2}{s}+s+4}{(s+2)(s+4)}.
Separe a fração em partes mais simples: note que
\frac{s+4}{(s+2)(s+4)}=\frac{1}{s+2}
(portanto o termo s+4 simplifica), e o restante fica com o termo \dfrac{2}{s}. Escrevo:
V(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{2}{s\,(s+2)(s+4)}.
Isto deixa V(s) em uma forma próxima à inversão pela tabela de Laplace, restando apenas decompor a segunda fração por frações parciais.

Passo 5

Decompondo a fração \displaystyle \frac{2}{s(s+2)(s+4)} em frações parciais:
procuro constantes A,B,C tais que
\frac{2}{s(s+2)(s+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s+4) obtemos
2 = A(s+2)(s+4) + B s (s+4) + C s (s+2).
Uso o método “cover-up” (avaliar em raízes) para achar A,B,C rapidamente:
  • Para s=0: 2 = A\cdot 2\cdot 4 \Rightarrow A=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.
  • Para s=-2: 2 = B\cdot(-2)\cdot 2 \Rightarrow 2 = -4B \Rightarrow B=-\dfrac{1}{2}.
  • Para s=-4: 2 = C\cdot(-4)\cdot(-2) \Rightarrow 2 = 8C \Rightarrow C=\dfrac{1}{4}.
    Portanto
\frac{2}{s(s+2)(s+4)}=\frac{1/4}{s}-\frac{1/2}{s+2}+\frac{1/4}{s+4}.

Passo 6

Junto isso com o termo \dfrac{1}{s+2} já presente em V(s). Então
V(s)=\frac{1}{s+2}+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+4}\right).
Agrupo os termos do mesmo tipo (especialmente os de 1/(s+2)):
V(s)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+4}.
Como 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, fica
V(s)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+4}.
Agora uso as transformadas inversas básicas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1 (constante 1),
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}.
    Aplicando a inversa termo a termo:
v(t)=\frac{1}{4}\cdot 1 + \frac{1}{2} e^{-2t} + \frac{1}{4} e^{-4t},\qquad t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida (checagem de consistência — coisa que você pode fazer na prova para ganhar confiança):
  • Em t=0: \displaystyle v(0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1, bate com a condição inicial.
  • Derivando v(t): \displaystyle v'(t)=-\frac{1}{2}\cdot 2 e^{-2t}-\frac{1}{4}\cdot 4 e^{-4t}= - e^{-2t}- e^{-4t}. Em t=0: v'(0)=-1-1=-2, também coincide.
    Assim a solução encontrada está correta e satisfaz as condições iniciais.

Resposta

\displaystyle v(t)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}e^{-2t}+\frac{1}{4}e^{-4t}

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