Determine f(t) para:
F(s)=\frac{5 s-1}{s^{3}-3 s-2}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{5s-1}{s^{3}-3s-2}
e pede para determinar f(t), isto é, a função cujo transformada de Laplace é F(s).
Informações relevantes dadas:
\text{numerador: }5s-1,\qquad \text{denominador: }s^{3}-3s-2.
A tarefa é calcular a transformada inversa de Laplace de F(s).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador s^{3}-3s-2. Testando raízes inteiras, avaliamos em s=2:
2^{3}-3\cdot2-2=8-6-2=0,
portanto s=2 é raiz e (s-2) é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou observando, obtemos
s^{3}-3s-2=(s-2)(s^{2}+2s+1).
Reconhecemos s^{2}+2s+1=(s+1)^{2}. Assim
s^{3}-3s-2=(s-2)(s+1)^{2}.

Passo 3

Como o denominador tem fatores lineares simples e um quadrático repetido, fazemos a decomposição em frações parciais no formato
\frac{5s-1}{(s-2)(s+1)^{2}}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (s-2)(s+1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
5s-1=A(s+1)^{2}+B(s-2)(s+1)+C(s-2).
Expandimos os termos do lado direito. Primeiro
A(s+1)^{2}=A(s^{2}+2s+1)=A s^{2}+2A s + A,
B(s-2)(s+1)=B(s^{2}-s-2)=B s^{2}-B s -2B,
C(s-2)=C s -2C.
Somando:
5s-1=(A+B)s^{2}+(2A-B+C)s+(A-2B-2C).

Passo 5

Comparando coeficientes com o polinômio 5s-1\) (que é \(0\cdot s^{2}+5\cdot s-1\)), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A-B+C=5,\\[4pt] A-2B-2C=-1. \end{cases}
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo nas outras duas:
2A-(-A)+C=5 \;\Rightarrow\; 3A+C=5 \;\Rightarrow\; C=5-3A,
A-2(-A)-2C=-1 \;\Rightarrow\; 3A-2C=-1.
Substituímos C=5-3A na última:
3A-2(5-3A)=-1 \;\Rightarrow\; 3A-10+6A=-1 \;\Rightarrow\; 9A=9 \;\Rightarrow\; A=1.
Então B=-A=-1 e C=5-3A=5-3=2.]

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, a decomposição parcial é
\frac{5s-1}{(s-2)(s+1)^{2}}=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s+1}+\frac{2}{(s+1)^{2}}.

Passo 7

Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
  • Sabemos que \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a}. Assim a inversa de \dfrac{1}{s-2} é e^{2t}.
  • Sabemos que \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} também dá a inversa de \dfrac{1}{s+1} como e^{-t}.
  • Sabemos que \mathcal{L}\{t e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{(s-a)^{2}}. Portanto a inversa de \dfrac{2}{(s+1)^{2}} é 2t e^{-t}.
Aqui a representa a constante no expoente da função exponencial e^{at}; por exemplo, para \dfrac{1}{s-2} temos a=2, e para \dfrac{1}{s+1} temos a=-1.

Passo 8

Aplicando as inversas termo a termo, obtemos
f(t)=e^{2t}-e^{-t}+2t e^{-t},\qquad t\ge 0.
Podemos também escrever f(t)=e^{2t}+e^{-t}(2t-1), se preferir uma forma combinada.

Resposta

f(t)=e^{2t}-e^{-t}+2t e^{-t},\; t\ge 0

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