Determine
para:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para determinar
, isto é, a função cujo transformada de Laplace é
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A tarefa é calcular a transformada inversa de Laplace de
.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador
. Testando raízes inteiras, avaliamos em
:
portanto
é raiz e
é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou observando, obtemos
Reconhecemos
. Assim
Passo 3
Como o denominador tem fatores lineares simples e um quadrático repetido, fazemos a decomposição em frações parciais no formato
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Expandimos os termos do lado direito. Primeiro
Somando:
Passo 5
Comparando coeficientes com o polinômio
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo nas outras duas:
Substituímos
na última:
Então
e
.]
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, a decomposição parcial é
Passo 7
Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
- Sabemos que
. Assim a inversa de é . - Sabemos que
também dá a inversa de como . - Sabemos que
. Portanto a inversa de é .
Aqui
representa a constante no expoente da função exponencial
; por exemplo, para
temos
, e para
temos
.
Passo 8
Aplicando as inversas termo a termo, obtemos
Podemos também escrever
, se preferir uma forma combinada.