Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{1}{s^{n}}(n=1,2, \ldots)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^{n}}, \quad n=1,2,\dots
Aqui vamos usar a noção de transformada inversa de Laplace e a relação com a função gama.

Passo 2

Lembramos que, para \alpha>-1, vale
\mathcal{L}\{t^{\alpha}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-st}\,dt =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}},
onde \Gamma(\alpha+1)=(\alpha)! quando \alpha é inteiro.

Passo 3

Queremos um termo em s^{-n}. Comparando \alpha+1=n, temos \alpha=n-1. Assim
\mathcal{L}\{t^{n-1}\}(s) =\frac{\Gamma(n)}{s^{n}} =\frac{(n-1)!}{s^{n}}.

Passo 4

Para obter \tfrac1{s^{n}} em vez de \tfrac{(n-1)!}{s^{n}}, basta dividir t^{n-1} por (n-1)!. Logo
f(t)=\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}.

Resposta

f(t)=\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}.

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