Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{s+2}{(s+2)^{2}+a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para inverter a transformada de Laplace
\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+a^{2}}.
Vamos usar o par básico
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}
e a propriedade de modulação exponencial
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}g(t)\}(s)=G(s-\alpha).

Passo 2

No nosso caso escolhemos \alpha=-2 e G(s)=\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Assim,
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(at)\}(s) =G(s-(-2)) =\frac{(s-(-2))}{(s-(-2))^{2}+a^{2}} =\frac{s+2}{(s+2)^{2}+a^{2}}.
Logo a antitransformada buscada é
f(t)=e^{-2t}\cos(at),\quad t\ge0.

Resposta

f(t)=e^{-2t}\cos(at).

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