Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{3 s-2}{s^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\displaystyle F(s)=\frac{3s-2}{s^{2}+1}.
O conteúdo aqui é reconhecer que
\mathcal{L}\{ \cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}
e
\mathcal{L}\{ \sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 2

Escrevemos
F(s)=\frac{3s-2}{s^{2}+1} =\frac{3s}{s^{2}+1}-\frac{2}{s^{2}+1}.

Passo 3

Usando as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+1}\bigr\}(t)=\cos t
e
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+1}\bigr\}(t)=\sin t.

Passo 4

Portanto, aplicando a linearidade,
f(t) =3\,\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+1}\bigr\}(t) -2\,\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+1}\bigr\}(t) =3\cos t-2\sin t.

Resposta

f(t)=3\cos t-2\sin t.

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