Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{2 s+1}{s^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre f(t) sabendo que a transformada de Laplace de f é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2s+1}{s^2-4}.
O conteúdo principal é usar decomposição em frações parciais e a tabela de transformadas inversas, em particular
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}(t)=e^{a t}.

Passo 2

Vamos decompor
\frac{2s+1}{s^2-4} =\frac{2s+1}{(s-2)(s+2)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+2}.
Então
A(s+2)+B(s-2)=2s+1.
Comparando coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} A+B=2,\\\\ 2A-2B=1. \end{cases}
Daí
A=\frac{5}{4}, \quad B=\frac{3}{4}.

Passo 3

Substituindo na decomposição, fica
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{5/4}{s-2}+\frac{3/4}{s+2}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}(t)=e^{a t}, obtemos
f(t)=\frac{5}{4}e^{2t}+\frac{3}{4}e^{-2t}.

Resposta

f(t)=\frac{5}{4}e^{2t}+\frac{3}{4}e^{-2t}.

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