Determine f'(x):
f(x) = e^{x^2 + 1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x) da função dada.
Informações fornecidas (retiradas da imagem): a função é f(x)=e^{x^{2}+1}. Vou usar exatamente essa expressão para encontrar f'(x).

Passo 2

Ideia geral e regra que vamos usar (explicação didática): quando uma função é uma composição “exponencial de algo”, ou seja f(x)=e^{u(x)} onde u(x) é outra função, aplica-se a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte:
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (o “algo” dentro do expoente);
  • u'(x) é a derivada dessa função interna;
  • o fator e^{u(x)} é a derivada da função exponencial em si, avaliada na função interna.
    Intuição simples: a taxa de variação do todo é a taxa de variação da exponencial multiplicada pela taxa de variação do que está dentro do expoente.

Passo 3

Identificar a função interna para aplicar a regra da cadeia. No nosso caso:
u(x)=x^{2}+1.
Agora calculamos a derivada de u(x) usando a regra do poder e a regra da soma:
  • a derivada de x^{2} é 2x (regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1});
  • a derivada da constante 1 é 0.
    Logo:
u'(x)=2x+0=2x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia substituindo u(x) e u'(x) na fórmula do Passo 2:
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{x^{2}+1}\cdot(2x).
Podemos reordenar os fatores para ficar mais enxuto:
f'(x)=2x\,e^{x^{2}+1}.

Passo 5

Comentário rápido para checar entendimento (opcional mas útil): por exemplo, em x=0 obtém-se f'(0)=2\cdot 0\cdot e^{0^{2}+1}=0; em x=1 obtém-se f'(1)=2\cdot 1\cdot e^{2}=2e^{2}. Isso faz sentido com a fórmula encontrada.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{2}+1}

Exercícios relacionados