Determine f'(x):
f(x) = x^2e^{\sin(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x)=x^{2}e^{\sin(x)}.
  • A tarefa é determinar f'(x).

Passo 2

Relembre a regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' = \dfrac{d}{dx}u(x) e v' = \dfrac{d}{dx}v(x). Vou usar essa regra porque f(x) é um produto de duas funções.

Passo 3

Identifico as partes do produto:
  • u(x)=x^{2}.
  • v(x)=e^{\sin(x)}.
Vou calcular u' e v' separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x):
A derivada de x^{2} é a regra de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Portanto
u'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 5

Derivada de v(x):
Aqui usamos a regra da cadeia. Para uma função composta e^{g(x)}, vale
\dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=\sin(x) e g'(x)=\cos(x). Assim
v'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{\sin(x)}=e^{\sin(x)}\cdot\cos(x).

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,\;u',\;v,\;v':
f'(x)=2x\cdot e^{\sin(x)} + x^{2}\cdot e^{\sin(x)}\cos(x).

Passo 7

Fatorando e^{\sin(x)} (comum aos dois termos) e, se quiser, também um x:
f'(x)=e^{\sin(x)}\bigl(2x + x^{2}\cos(x)\bigr)=x e^{\sin(x)}\bigl(2 + x\cos(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=x e^{\sin(x)}\bigl(2 + x\cos(x)\bigr)

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