Determine f'(x):
f(x) = (x^3 + 2x^2 + 17)^{10}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede: determinar f'(x), a derivada da função.
  • A função dada é f(x) = (x^3 + 2x^2 + 17)^{10}.
  • Informação relevante: a expressão é uma composição de uma função polinomial interna x^3+2x^2+17 com a função potência externa “elevar à décima potência”.

Passo 2

Qual técnica vamos usar (explicação didática da regra) — a Regra da Cadeia.
  • Quando temos uma função composta da forma F(x)=H(G(x)), a Regra da Cadeia diz que a derivada é
F'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
  • Aqui G(x) é a função interna (aquela que está “dentro dos parênteses”) e H(u) é a função externa vista em termos de uma variável genérica u. A ideia é: primeiro derivamos a função externa em relação à sua variável interna u, depois multiplicamos pelo derivado da função interna em relação a x.
  • Exemplificando a ideia sem números: se F(x)=(G(x))^{n}, então H(u)=u^{n} tem H'(u)=n u^{n-1}; assim
F'(x)=n\big(G(x)\big)^{n-1}\cdot G'(x).

Passo 3

Identificar função externa e interna e suas derivadas.
  • Função externa (em termos de u): H(u)=u^{10}.
  • Derivada da externa: H'(u)=10u^{9}.
  • Função interna: G(x)=x^3+2x^2+17.
  • Derivada da interna: calcular termo a termo
G'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^3\big)+\frac{d}{dx}\big(2x^2\big)+\frac{d}{dx}\big(17\big).
  • Usando as regras básicas: \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2, \frac{d}{dx}(2x^2)=4x, \frac{d}{dx}(17)=0. Portanto
G'(x)=3x^2+4x.

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados.
  • Pela Regra da Cadeia,
f'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
  • Substituindo H'(u)=10u^{9} com u=G(x)=x^3+2x^2+17 e G'(x)=3x^2+4x, obtemos
f'(x)=10\big(x^3+2x^2+17\big)^{9}\cdot\big(3x^2+4x\big).

Passo 5

Simplificar a expressão (opcional, para apresentar de forma mais compacta) e dica prática para prova.
  • Podemos multiplicar o 10 pelo polinômio 3x^2+4x para obter uma forma equivalente:
10(3x^2+4x)=30x^2+40x,
logo outra escrita útil é
f'(x)=\big(30x^2+40x\big)\big(x^3+2x^2+17\big)^{9}.
  • Dica prática: em prova, a forma 10(x^3+2x^2+17)^9(3x^2+4x) mostra claramente aplicação da Regra da Cadeia; a forma fatorada 10x(3x+4)(x^3+2x^2+17)^9 pode ser útil se pedirem fatores em comum. Por exemplo, fatorando 30x^2+40x 10x(3x+4), então
f'(x)=10x(3x+4)\big(x^3+2x^2+17\big)^{9}.

Resposta

f'(x)=10\big(x^3+2x^2+17\big)^{9}\big(3x^2+4x\big)

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