Determine
e
se
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e
. As informações dadas são:
Não foi dada mais nenhuma informação sobre suporte ou contexto; por isso vou trabalhar com a definição usual de produto integral entre funções (aquela usada em problemas de transformadas e sinais), usando
como variável de integração e
como parâmetro da convolução. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vou usar a definição do produto integral entre funções (convolução em contexto causal), que é a seguinte:
Explicando essa fórmula passo a passo:
- A letra
é a variável de integração (um “índice de tempo”); é o ponto onde queremos avaliar o resultado. - A integral vai de
a porque estou assumindo que as funções são nulas para (contexto padrão em muitos exercícios de transformada/ sinais). Se o problema tivesse outro domínio, a fórmula mudaria, mas essa é a hipótese mais comum que dá sentido à integral. - A expressão
faz a “reflexão/deslocamento” típica do produto integral.
Também é verdade, e usarei depois, que esse produto integral é comutativo:. Vou calcular os dois para mostrar na prática.
Passo 3
Calculemos
usando
e
:
Fatorando
, que não depende de
:
Agora precisamos calcular
. Vamos integrar por partes. Tome
A fórmula de integração por partes é
. Aplicando,
Simplificando os coeficientes:
Calcule cada termo: o primeiro é
. A integral restante:
Portanto
Agrupando:
Voltando a
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora calculemos
diretamente para confirmar a comutatividade. Usando a definição:
Desenvolvendo:
Calcule as integrais separadamente. Primeiro,
Segundo, para
use integração por partes com
Então
A integral restante é
. Portanto
Agora substitua de volta em
:
Distribuindo e simplificando passo a passo (os termos com
vão se cancelar):
Os termos
e
se anulam; sobra
Portanto
que coincide com
, como esperado.
Passo 5
Resumo didático do que foi feito (para sua prova): para calcular esse tipo de produto entre funções você substitui
na primeira função e
na segunda, integra no intervalo adequado (aqui
a
), e faz integrações por partes quando aparecer
multiplicando uma exponencial. Outra dica prática: muitas vezes é mais simples fatorar expoentes como fizemos (
) para tirar dependência de
para fora da integral e facilitar os cálculos. Vai dar tudo certo — respira e repete os passos na hora da prova!