Determine f(x)^{*} g(x) e g(x)^{*} f(x) se f(x)=4 x e g(x)=e^{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar f(x)^{*} g(x) e g(x)^{*} f(x). As informações dadas são:
f(x)=4x
g(x)=e^{2x}
Não foi dada mais nenhuma informação sobre suporte ou contexto; por isso vou trabalhar com a definição usual de produto integral entre funções (aquela usada em problemas de transformadas e sinais), usando t como variável de integração e x como parâmetro da convolução. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vou usar a definição do produto integral entre funções (convolução em contexto causal), que é a seguinte:
(f*g)(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,g(x-t)\,dt.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • A letra t é a variável de integração (um “índice de tempo”); x é o ponto onde queremos avaliar o resultado.
  • A integral vai de 0 a x porque estou assumindo que as funções são nulas para t<0 (contexto padrão em muitos exercícios de transformada/ sinais). Se o problema tivesse outro domínio, a fórmula mudaria, mas essa é a hipótese mais comum que dá sentido à integral.
  • A expressão g(x-t) faz a “reflexão/deslocamento” típica do produto integral.
    Também é verdade, e usarei depois, que esse produto integral é comutativo: (f*g)(x)=(g*f)(x). Vou calcular os dois para mostrar na prática.

Passo 3

Calculemos (f*g)(x) usando f(t)=4t e g(x-t)=e^{2(x-t)}:
(f*g)(x)=\int_{0}^{x} 4t\,e^{2(x-t)}\,dt.
Fatorando e^{2x}, que não depende de t:
(f*g)(x)=e^{2x}\int_{0}^{x}4t\,e^{-2t}\,dt.
Agora precisamos calcular I(x)=\int_{0}^{x}4t\,e^{-2t}\,dt. Vamos integrar por partes. Tome
u=4t\quad\Rightarrow\quad du=4\,dt,
dv=e^{-2t}\,dt\quad\Rightarrow\quad v=-\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = u v - \int v\,du. Aplicando,
I(x)=\Big[4t\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big)\Big]_{0}^{x} - \int_{0}^{x}\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big)\,4\,dt.
Simplificando os coeficientes:
I(x)=\Big[-2t\,e^{-2t}\Big]_{0}^{x} + 2\int_{0}^{x}e^{-2t}\,dt.
Calcule cada termo: o primeiro é -2x e^{-2x} - (0). A integral restante:
\int_{0}^{x}e^{-2t}\,dt = \Big[-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\Big]_{0}^{x} = -\tfrac{1}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}.
Portanto
I(x)= -2x e^{-2x} + 2\Big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\Big) = -2x e^{-2x} - e^{-2x} + 1.
Agrupando:
I(x)=1 - (2x+1)e^{-2x}.
Voltando a (f*g)(x):
(f*g)(x)=e^{2x}\,I(x)=e^{2x}\Big(1 - (2x+1)e^{-2x}\Big).
Multiplicando por e^{2x}:
(f*g)(x)=e^{2x} - (2x+1).

Passo 4

Agora calculemos (g*f)(x) diretamente para confirmar a comutatividade. Usando a definição:
(g*f)(x)=\int_{0}^{x} e^{2t}\cdot 4(x-t)\,dt.
Desenvolvendo:
(g*f)(x)=4\int_{0}^{x}\big(xe^{2t} - t e^{2t}\big)\,dt =4\Big(x\int_{0}^{x}e^{2t}\,dt - \int_{0}^{x}t e^{2t}\,dt\Big).
Calcule as integrais separadamente. Primeiro,
\int_{0}^{x}e^{2t}\,dt = \Big[\tfrac{1}{2}e^{2t}\Big]_{0}^{x} = \tfrac{1}{2}e^{2x} - \tfrac{1}{2}.
Segundo, para \int_{0}^{x} t e^{2t}\,dt use integração por partes com
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=e^{2t}dt\quad\Rightarrow\quad v=\tfrac{1}{2}e^{2t}.
Então
\int_{0}^{x} t e^{2t}\,dt = \Big[\tfrac{t}{2}e^{2t}\Big]_{0}^{x} - \int_{0}^{x}\tfrac{1}{2}e^{2t}\,dt.
A integral restante é \tfrac{1}{2}\int_{0}^{x}e^{2t}dt = \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}e^{2x} - \tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{4}e^{2x} - \tfrac{1}{4}. Portanto
\int_{0}^{x} t e^{2t}\,dt = \tfrac{x}{2}e^{2x} - 0 - \Big(\tfrac{1}{4}e^{2x} - \tfrac{1}{4}\Big) = \Big(\tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4}\Big)e^{2x} + \tfrac{1}{4}.
Agora substitua de volta em (g*f)(x):
(g*f)(x)=4\Big(x\big(\tfrac{1}{2}e^{2x} - \tfrac{1}{2}\big) - \Big[\Big(\tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4}\Big)e^{2x} + \tfrac{1}{4}\Big]\Big).
Distribuindo e simplificando passo a passo (os termos com x e^{2x} vão se cancelar):
(g*f)(x)=4\Big(\tfrac{x}{2}e^{2x} - \tfrac{x}{2} - \tfrac{x}{2}e^{2x} + \tfrac{1}{4}e^{2x} - \tfrac{1}{4}\Big).
Os termos \tfrac{x}{2}e^{2x} e -\tfrac{x}{2}e^{2x} se anulam; sobra
(g*f)(x)=4\Big(-\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}e^{2x} - \tfrac{1}{4}\Big) = -2x + e^{2x} -1.
Portanto
(g*f)(x)=e^{2x} - 2x -1,
que coincide com (f*g)(x), como esperado.

Passo 5

Resumo didático do que foi feito (para sua prova): para calcular esse tipo de produto entre funções você substitui t na primeira função e x-t na segunda, integra no intervalo adequado (aqui 0 a x), e faz integrações por partes quando aparecer t multiplicando uma exponencial. Outra dica prática: muitas vezes é mais simples fatorar expoentes como fizemos ( e^{2(x-t)}=e^{2x}e^{-2t}) para tirar dependência de x para fora da integral e facilitar os cálculos. Vai dar tudo certo — respira e repete os passos na hora da prova!

Resposta

f(x)^{*} g(x)=e^{2x}-2x-1\n g(x)^{*} f(x)=e^{2x}-2x-1

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