Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de:
\frac{1}{2 s^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional em s
\frac{1}{2s^{2}+1}
e pede a transformada inversa de Laplace dessa expressão, ou seja, encontrar uma função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{2s^{2}+1}.
Informações relevantes: o numerador é 1 e o denominador é uma soma quadrática em s com coeficiente 2 em s^{2}. Não há termos de primeira potência em s no denominador nem deslocamentos em s.

Passo 2

Lembrete da tábua básica que vamos usar (vou explicar bem devagar): para a>0 temos
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Isso significa que, se tivermos uma expressão da forma \dfrac{1}{s^{2}+a^{2}}, a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at).
Aqui s é a variável no domínio de Laplace (complexa) e t é a variável no domínio do tempo. A constante a é a frequência angular do seno.

Passo 3

Vamos manipular a expressão dada para colocá-la na forma \dfrac{C}{s^{2}+a^{2}}. Começo factorizando o 2 do denominador:
\frac{1}{2s^{2}+1}=\frac{1}{2\left(s^{2}+\tfrac{1}{2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{2}}.
Então agora temos a forma \dfrac{1}{2} multiplicando \dfrac{1}{s^{2}+a^{2}} com a^{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Identifico a constante a a partir de a^{2}=\tfrac{1}{2}. Logo
a=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
É importante cuidar do sinal: usamos a>0 para aplicar a fórmula do seno.

Passo 5

Usando a fórmula do Passo 2 para \dfrac{1}{s^{2}+a^{2}}, temos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at).
No nosso caso há o fator \tfrac{1}{2} multiplicando. Então
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{2}}\right\}=\frac{1}{2}\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}.

Passo 6

Substituo a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} na expressão do Passo 5:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2s^{2}+1}\right\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{a}\sin(at) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\sin\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,t\right).

Passo 7

Faço a simplificação numérica do fator:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto a função no tempo fica
f(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right).

Passo 8

Resumo e dica para prova: sempre tente escrever o denominador na forma s^{2}+a^{2}. Se houver um fator constante, fatorize-o e lembre que \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+a^{2})\}=(1/a)\sin(at). Exemplo rápido paralelo: \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+9)\}=(1/3)\sin(3t).

Resposta

\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)

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