Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de:
Passo 1
O enunciado dá a função racional em
e pede a transformada inversa de Laplace dessa expressão, ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações relevantes: o numerador é
e o denominador é uma soma quadrática em
com coeficiente
em
. Não há termos de primeira potência em
no denominador nem deslocamentos em
.
Passo 2
Lembrete da tábua básica que vamos usar (vou explicar bem devagar): para
temos
Isso significa que, se tivermos uma expressão da forma
, a transformada inversa é
Aqui
é a variável no domínio de Laplace (complexa) e
é a variável no domínio do tempo. A constante
é a frequência angular do seno.
Passo 3
Vamos manipular a expressão dada para colocá-la na forma
. Começo factorizando o
do denominador:
Então agora temos a forma
multiplicando
com
.
Passo 4
Identifico a constante
a partir de
. Logo
É importante cuidar do sinal: usamos
para aplicar a fórmula do seno.
Passo 5
Usando a fórmula do Passo 2 para
, temos
No nosso caso há o fator
multiplicando. Então
Passo 6
Substituo
na expressão do Passo 5:
Passo 7
Faço a simplificação numérica do fator:
Portanto a função no tempo fica
Passo 8
Resumo e dica para prova: sempre tente escrever o denominador na forma
. Se houver um fator constante, fatorize-o e lembre que
. Exemplo rápido paralelo:
.