Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa da função racional em
Informações dadas: a expressão está em termos de
e o denominador tem a forma
. A tarefa é encontrar a função no domínio do tempo
cuja transformada de Laplace é essa expressão. Não há outras condições no enunciado, então assumimos a transformada inversa para
.
Passo 2
Vamos rever as fórmulas da tábua de transformadas que vamos usar — explicando bem cada parte para você saber na prova.
- A transformada de Laplace da função
é
onde
é a variável da transformada e
é a frequência angular da cossenoide.
- A transformada de
é
- Se uma função no tempo
é multiplicada por uma exponencial , então sua transformada em sofre um deslocamento:
isto é, substituímos
por
na transformada
. Aqui
é a constante do deslocamento (pode ser positiva ou negativa).
Essas fórmulas são as que vamos casar com a expressão que você deu. Note que nas fórmulas acima as variáveis são:
tempo,
variável da transformada,
frequência (positivo) e
deslocamento na parte real.
Passo 3
Observação prática: no nosso problema o denominador é
. Isso sugere que estamos no caso de uma transformada do tipo
com
, ou seja
, e com deslocamento
. Porém o numerador está em
, não em
. Então vamos manipular o numerador para expor um termo
.
Escrevemos
Substituindo na fração temos
Passo 4
Agora analisamos cada parcela separadamente e casamos com as fórmulas da tábua.
Primeiro termo:
Comparando com a fórmula
, vemos que aqui
e
, logo
. Portanto o primeiro termo é a transformada de
Passo 5
Segundo termo:
Compare com
. Para usar essa forma precisamos que o numerador seja
. No nosso caso o numerador é
. Então escrevemos
com
. Assim
Pelo tabelamento,
é a transformada de
. Multiplicando por
no domínio de
corresponde a multiplicar por
no domínio do tempo. Logo o segundo termo corresponde a
Passo 6
Lembrando que na decomposição o segundo termo aparece com sinal negativo, juntamos os dois resultados: a transformada inversa original é
Fatorando
fica mais compacto e elegante:
válido para
. Se quiser decorar um truque útil: sempre que o denominador tem
, tente escrever o numerador como
mais algo — isso revela um coseno e um seno multiplicados por
.