Utilizando a tábua das transformadas de Laplace, determine a transformada inversa de:
\frac{s}{(s+1)^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa da função racional em s
\frac{s}{(s+1)^{2}+5}.
Informações dadas: a expressão está em termos de s e o denominador tem a forma (s+1)^2 + 5. A tarefa é encontrar a função no domínio do tempo f(t) cuja transformada de Laplace é essa expressão. Não há outras condições no enunciado, então assumimos a transformada inversa para t\ge0.

Passo 2

Vamos rever as fórmulas da tábua de transformadas que vamos usar — explicando bem cada parte para você saber na prova.
  • A transformada de Laplace da função \cos(bt) é
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
onde s é a variável da transformada e b>0 é a frequência angular da cossenoide.
  • A transformada de \sin(bt) é
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
  • Se uma função no tempo f(t) é multiplicada por uma exponencial e^{-a t}, então sua transformada em s sofre um deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a),
isto é, substituímos s por s+a na transformada F(s). Aqui a é a constante do deslocamento (pode ser positiva ou negativa).
Essas fórmulas são as que vamos casar com a expressão que você deu. Note que nas fórmulas acima as variáveis são: t tempo, s variável da transformada, b frequência (positivo) e a deslocamento na parte real.

Passo 3

Observação prática: no nosso problema o denominador é (s+1)^2+5. Isso sugere que estamos no caso de uma transformada do tipo F(s+1) com b^{2}=5, ou seja b=\sqrt{5}, e com deslocamento a=1. Porém o numerador está em s, não em s+1. Então vamos manipular o numerador para expor um termo (s+1).
Escrevemos
s=(s+1)-1.
Substituindo na fração temos
\frac{s}{(s+1)^{2}+5}=\frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}+5} =\frac{s+1}{(s+1)^{2}+5}-\frac{1}{(s+1)^{2}+5}.

Passo 4

Agora analisamos cada parcela separadamente e casamos com as fórmulas da tábua.
Primeiro termo:
\frac{s+1}{(s+1)^{2}+5}.
Comparando com a fórmula \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, vemos que aqui a=1 e b^{2}=5, logo b=\sqrt{5}. Portanto o primeiro termo é a transformada de
e^{-t}\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr).

Passo 5

Segundo termo:
\frac{1}{(s+1)^{2}+5}.
Compare com \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Para usar essa forma precisamos que o numerador seja b. No nosso caso o numerador é 1. Então escrevemos 1=b\cdot\frac{1}{b} com b=\sqrt{5}. Assim
\frac{1}{(s+1)^{2}+5}=\frac{\sqrt{5}}{(s+1)^{2}+(\sqrt{5})^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}.
Pelo tabelamento, \dfrac{\sqrt{5}}{(s+1)^{2}+(\sqrt{5})^{2}} é a transformada de e^{-t}\sin(\sqrt{5}\,t). Multiplicando por \dfrac{1}{\sqrt{5}} no domínio de s corresponde a multiplicar por \dfrac{1}{\sqrt{5}} no domínio do tempo. Logo o segundo termo corresponde a
\frac{1}{\sqrt{5}}\,e^{-t}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr).

Passo 6

Lembrando que na decomposição o segundo termo aparece com sinal negativo, juntamos os dois resultados: a transformada inversa original é
e^{-t}\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)-\frac{1}{\sqrt{5}}\,e^{-t}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr).
Fatorando e^{-t} fica mais compacto e elegante:
e^{-t}\left(\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)-\frac{1}{\sqrt{5}}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)\right),
válido para t\ge0. Se quiser decorar um truque útil: sempre que o denominador tem (s+a)^2+b^2, tente escrever o numerador como (s+a) mais algo — isso revela um coseno e um seno multiplicados por e^{-a t}.

Resposta

e^{-t}\!\left(\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)\right)

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