Determine \partial z / \partial x e \partial z / \partial y.
z=4 e^{x^{2} y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de z em relação a x e em relação a y. A função dada é
z = 4 e^{x^{2} y^{3}}.
Perguntas claras:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • z é expressa como constante 4 multiplicando a função exponencial e^{x^{2}y^{3}}.
  • O expoente é a função x^{2}y^{3}, que depende de x e y.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática)?
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} significa: derivar z em relação a x mantendo y fixo (como se fosse uma constante).
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} significa: derivar z em relação a y mantendo x fixo.
Exemplo simples para fixar ideia: se w = 5\sin(xy), ao derivar em x trata-se y como constante; ao derivar em y trata-se x como constante.

Passo 3

Estratégia de cálculo (ferramentas que vamos usar):
  • Usar a regra da cadeia: se z = g(h(x,y)), então \dfrac{\partial z}{\partial x} = g'(h(x,y))\cdot \dfrac{\partial h}{\partial x}.
  • A derivada da exponencial é \dfrac{d}{dt} e^{t} = e^{t}.
  • Aqui podemos definir u(x,y)=x^{2}y^{3} e escrever z = 4 e^{u(x,y)}. Então, pela regra da cadeia,
\dfrac{\partial z}{\partial x} = 4\, e^{u(x,y)} \cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}, \qquad \dfrac{\partial z}{\partial y} = 4\, e^{u(x,y)} \cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} passo a passo, onde u(x,y)=x^{2}y^{3}.
Para \dfrac{\partial u}{\partial x}: tratar y como constante.
  • u(x,y) = (x^{2})\cdot(y^{3}). Como y^{3} é constante em relação a x, aplica-se \dfrac{d}{dx} x^{2} = 2x.
\dfrac{\partial u}{\partial x} = y^{3}\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2}) = y^{3}\cdot 2x = 2x y^{3}.
Para \dfrac{\partial u}{\partial y}: tratar x como constante.
  • u(x,y) = x^{2}\cdot (y^{3}). Como x^{2} é constante em relação a y, aplica-se \dfrac{d}{dy} y^{3} = 3y^{2}.
\dfrac{\partial u}{\partial y} = x^{2}\cdot \dfrac{d}{dy}(y^{3}) = x^{2}\cdot 3y^{2} = 3 x^{2} y^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia usando os resultados do Passo 4 e simplificar:
Para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\dfrac{\partial z}{\partial x} = 4\, e^{u(x,y)} \cdot \bigl(2x y^{3}\bigr) = \bigl(4\cdot 2x y^{3}\bigr) e^{x^{2}y^{3}} = 8 x y^{3} e^{x^{2}y^{3}}.
Para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\dfrac{\partial z}{\partial y} = 4\, e^{u(x,y)} \cdot \bigl(3 x^{2} y^{2}\bigr) = \bigl(4\cdot 3 x^{2} y^{2}\bigr) e^{x^{2}y^{3}} = 12 x^{2} y^{2} e^{x^{2}y^{3}}.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=8 x y^{3} e^{x^{2}y^{3}}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=12 x^{2} y^{2} e^{x^{2}y^{3}}

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