Quantas são as soluções inteiras e não-negativas de x+y+ z<6 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas tripas (x,y,z) existem tais que x, y e z são inteiros não-negativos e satisfazem
x+y+z<6.
Informações dadas:
  • As variáveis são inteiras e não-negativas: x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge0}.
  • A condição é uma desigualdade estrita: x+y+z<6.
    A pergunta é: qual é o número total de tripletas (x,y,z) que obedecem essa condição?

Passo 2

Como x, y e z são inteiros, a desigualdade estrita
x+y+z<6
é equivalente à desigualdade não-estrita
x+y+z\le 5.
Explicação curta: se a soma é menor que 6 e é inteira, então ela vale um dos inteiros 0,1,2,3,4,5, ou seja, no máximo 5. Portanto podemos contar soluções de
x+y+z\le 5,
o que é mais fácil de tratar.

Passo 3

Estratégia para contar: transformar a desigualdade em uma equação somando uma variável folga (slack). Defina uma variável extra w\in\mathbb{Z}_{\ge0} tal que
x+y+z+w=5.
Cada solução não-negativa de x+y+z\le5 corresponde de maneira bijetiva a uma solução não-negativa de x+y+z+w=5 (basta pegar w=5-(x+y+z)). Então contamos soluções da equação acima.
Fórmula necessária (e sua intuição): o número de soluções em inteiros não-negativos de
x_1+x_2+\dots+x_k = n
é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Intuição via “stars and bars” (estrelas e barras): represente n unidades por n estrelas e use k-1 barras para separar essas estrelas em k caixinhas (cada caixinha corresponde a uma variável x_i). Uma sequência de n estrelas e k-1 barras tem comprimento n+k-1; escolher as posições das k-1 barras entre essas n+k-1 posições determina a solução. Logo há \binom{n+k-1}{k-1} escolhas.
Exemplo concreto para fixar: para x+y=3 (aqui k=2 e n=3) a fórmula dá
\binom{3+2-1}{2-1}=\binom{4}{1}=4,
e de fato as soluções são (0,3),(1,2),(2,1),(3,0).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: agora temos k=4 variáveis (x,y,z,w) e n=5. Pelo fórmula,
\text{nº de soluções}=\binom{5+4-1}{4-1}=\binom{8}{3}.ºçõ
Calculemos \binom{8}{3}:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{336}{6}=56.
Verificação alternativa (opcional, para confiança): contar por soma s=x+y+z com s=0,1,\dots,5. Para cada s o número de soluções de x+y+z=s é \binom{s+2}{2}. Somando:
\sum_{s=0}^{5}\binom{s+2}{2} = \binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}+\binom{6}{2}+\binom{7}{2} =1+3+6+10+15+21=56,
o que coincide com \binom{8}{3} (identidade do tipo “hockey-stick”).

Passo 5

Portanto o número total de soluções inteiras não-negativas de x+y+z<6 é 56. Força aí na prova — você consegue!

Resposta

56

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