Quantas diagonais possui:
a) um octaedro regular?
b) um icosaedro regular?
c) um dodecaedro regular?
d) um cubo?
e) um prisma hexagonal regular?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o número de diagonais de cada um dos poliedros listados:
a) um octaedro regular; b) um icosaedro regular; c) um dodecaedro regular; d) um cubo; e) um prisma hexagonal regular.
Informações relevantes dadas ou que vamos usar diretamente:
  • Um segmento que liga dois vértices consecutivos (ligados por aresta) não é diagonal; um segmento que liga dois vértices não adjacentes é uma diagonal.
  • Para cada poliedro precisamos conhecer o número de vértices e o número de arestas, pois a partir disso conseguiremos obter o número de diagonais.
  • Se alguma informação sobre faces/arestas/vértices for necessária e estiver na figura (se houvesse), eu a usaria explicitamente; neste enunciado estamos usando as contagens padrão conhecidas dos poliedros regulares (Platônicos) e a estrutura do prisma hexagonal.

Passo 2

Raciocínio geral e fórmula que vamos usar: escolha de dois vértices quaisquer forma um segmento. O total de segmentos entre os V vértices é o número de pares de V elementos tomados de 2 em 2, isto é
\binom{V}{2}.
Desses segmentos, exatamente E são arestas (ligam vértices adjacentes). Portanto, o número de diagonais (segmentos entre vértices que não são arestas) é
\text{diagonais}=\binom{V}{2}-E.
Vou usar essa fórmula para cada poliedro: primeiro obter V e E, depois aplicar \binom{V}{2}-E.

Passo 3

A fórmula combinatória usada: o número de pares distintos de V objetos é
\binom{V}{2}=\frac{V(V-1)}{2}.
Explicando devagar: cada vértice pode ser pareado com V-1 outros vértices, isso dá V(V-1) ordenados, mas cada par foi contado duas vezes (A com B e B com A), por isso dividimos por 2.

Passo 4

Octaedro regular.
  • Propriedades conhecidas (ou obtidas por dualidade com o cubo): um octaedro tem 6 vértices e 8 faces triangulares; pela fórmula de Euler V-E+F=2 obtemos as arestas:
E = V+F-2 = 6+8-2 = 12.
  • Aplicando a fórmula das diagonais:
\binom{6}{2}-12=\frac{6\cdot5}{2}-12=15-12=3.
Interpretação rápida: só existem 3 pares de vértices que não são ligados por aresta num octaedro.

Passo 5

Icosaedro regular.
  • Propriedades conhecidas: um icosaedro tem 12 vértices e 20 faces triangulares. As arestas são
E = \frac{3F}{2} = \frac{3\cdot20}{2}=30,
já que cada face triangular contribui com 3 arestas e cada aresta pertence a duas faces.
  • Aplicando a fórmula das diagonais:
\binom{12}{2}-30=\frac{12\cdot11}{2}-30=66-30=36.

Passo 6

Dodecaedro regular.
  • Propriedades: o dodecaedro tem F=12 faces pentagonais (cada face com 5 arestas por face). Usando a relação pF=2E (onde p é o número de lados da face) obtemos
5\cdot 12 = 2E \implies E = \frac{60}{2}=30.
  • Pelo teorema de Euler podemos achar V:
V = 2 + E - F = 2 + 30 - 12 = 20.
  • Agora as diagonais:
\binom{20}{2}-30=\frac{20\cdot19}{2}-30=190-30=160.

Passo 7

Cubo.
  • Podemos usar pF=2E com p=4 (faces quadradas) e F=6:
4\cdot6 = 2E \implies E = \frac{24}{2}=12.
  • Pelo teorema de Euler:
V = 2 + E - F = 2 + 12 - 6 = 8.
  • Diagonais:
\binom{8}{2}-12=\frac{8\cdot7}{2}-12=28-12=16.
Comentário intuitivo: no cubo há 12 diagonais de face (cada face tem 2, são 6 faces \Rightarrow 12) e 4 diagonais espaciais (entre vértices opostos), totalizando 16, conferindo com o cálculo.

Passo 8

Prisma hexagonal regular.
  • Estrutura do prisma hexagonal: duas bases hexagonais e 6 arestas laterais ligando vértices correspondentes. Portanto:
    • Vértices nas bases: 6 em cada base, então V=12.
    • Arestas nas bases: 6 em cada base \Rightarrow 12 arestas de base.
    • Arestas laterais: 6.
    • Total de arestas:
E = 12 + 6 = 18.
  • Diagonais:
\binom{12}{2}-18=\frac{12\cdot11}{2}-18=66-18=48.
Observação prática: entre 12 vértices há 66 pares; tirando as 18 arestas restam 48 diagonais (algumas ficam em faces hexagonais, outras atravessam o interior).

Resposta

a) 3
b) 36
c) 160
d) 16
e) 48

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