Quantas diagonais possui:
a) um octaedro regular?
b) um icosaedro regular?
c) um dodecaedro regular?
d) um cubo?
e) um prisma hexagonal regular?
a) um octaedro regular?
b) um icosaedro regular?
c) um dodecaedro regular?
d) um cubo?
e) um prisma hexagonal regular?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o número de diagonais de cada um dos poliedros listados:
a) um octaedro regular; b) um icosaedro regular; c) um dodecaedro regular; d) um cubo; e) um prisma hexagonal regular.
a) um octaedro regular; b) um icosaedro regular; c) um dodecaedro regular; d) um cubo; e) um prisma hexagonal regular.
Informações relevantes dadas ou que vamos usar diretamente:
- Um segmento que liga dois vértices consecutivos (ligados por aresta) não é diagonal; um segmento que liga dois vértices não adjacentes é uma diagonal.
- Para cada poliedro precisamos conhecer o número de vértices e o número de arestas, pois a partir disso conseguiremos obter o número de diagonais.
- Se alguma informação sobre faces/arestas/vértices for necessária e estiver na figura (se houvesse), eu a usaria explicitamente; neste enunciado estamos usando as contagens padrão conhecidas dos poliedros regulares (Platônicos) e a estrutura do prisma hexagonal.
Passo 2
Raciocínio geral e fórmula que vamos usar: escolha de dois vértices quaisquer forma um segmento. O total de segmentos entre os
vértices é o número de pares de
elementos tomados de 2 em 2, isto é
Desses segmentos, exatamente
são arestas (ligam vértices adjacentes). Portanto, o número de diagonais (segmentos entre vértices que não são arestas) é
Vou usar essa fórmula para cada poliedro: primeiro obter
e
, depois aplicar
.
Passo 3
A fórmula combinatória usada: o número de pares distintos de
objetos é
Explicando devagar: cada vértice pode ser pareado com
outros vértices, isso dá
ordenados, mas cada par foi contado duas vezes (A com B e B com A), por isso dividimos por
.
Passo 4
Octaedro regular.
- Propriedades conhecidas (ou obtidas por dualidade com o cubo): um octaedro tem
vértices e faces triangulares; pela fórmula de Euler obtemos as arestas:
- Aplicando a fórmula das diagonais:
Interpretação rápida: só existem 3 pares de vértices que não são ligados por aresta num octaedro.
Passo 5
Icosaedro regular.
- Propriedades conhecidas: um icosaedro tem
vértices e faces triangulares. As arestas são
já que cada face triangular contribui com
arestas e cada aresta pertence a duas faces.
- Aplicando a fórmula das diagonais:
Passo 6
Dodecaedro regular.
- Propriedades: o dodecaedro tem
faces pentagonais (cada face com arestas por face). Usando a relação (onde é o número de lados da face) obtemos
- Pelo teorema de Euler podemos achar
:
- Agora as diagonais:
Passo 7
Cubo.
- Podemos usar
com (faces quadradas) e :
- Pelo teorema de Euler:
- Diagonais:
Comentário intuitivo: no cubo há
diagonais de face (cada face tem
, são
faces
) e
diagonais espaciais (entre vértices opostos), totalizando
, conferindo com o cálculo.
Passo 8
Prisma hexagonal regular.
- Estrutura do prisma hexagonal: duas bases hexagonais e
arestas laterais ligando vértices correspondentes. Portanto: - Vértices nas bases:
em cada base, então . - Arestas nas bases:
em cada base arestas de base. - Arestas laterais:
. - Total de arestas:
- Vértices nas bases:
- Diagonais:
Observação prática: entre
vértices há
pares; tirando as
arestas restam
diagonais (algumas ficam em faces hexagonais, outras atravessam o interior).
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)