Determine e faça o esboço do domínio da função:
f(x, y)=x \ln \left(y^{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função e fazer um esboço do domínio. A função dada é f(x,y)=x\ln\!\left(y^{2}-x\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x\ln\!\left(y^{2}-x\right) (peguei esta expressão da imagem enviada).
  • Não há outras restrições explícitas além da própria definição do logaritmo natural.

Passo 2

Entender a condição imposta pelo logaritmo: a função \ln(t) está definida apenas para argumentos estritamente positivos, ou seja, para t>0.
Aplicando isso ao nosso caso: o argumento do logaritmo é y^{2}-x. Logo a condição necessária e suficiente para que \ln\!\left(y^{2}-x\right) exista é
y^{2}-x>0.

Passo 3

Manipular a desigualdade para obter uma forma mais direta envolvendo x e y.
Partimos de
y^{2}-x>0.
Somando x aos dois lados obtemos
y^{2}>x,
que reescreve como
x<y^{2}.
Observação sobre sinais: aqui não houve multiplicação por número negativo, apenas uma soma, então a direção da desigualdade permanece.

Passo 4

Interpretar o resultado em termos de domínio:
  • Não há nenhuma outra restrição (por exemplo, x sendo coeficiente multiplicativo não impõe problema para nenhum x\in\mathbb{R}); a única restrição é a desigualdade x<y^{2}.
  • Portanto, todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} que satisfazem x<y^{2} são permitidos.
  • A curva limite x=y^{2} (onde y^{2}-x=0) é excluída, porque aí o argumento do \ln seria zero e \ln 0 não existe.
  • Pontos com x>y^{2} também são excluídos, porque aí o argumento do \ln seria negativo.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • (x,y)=(0,1): aqui y^{2}-x=1-0=1>0, então vale; de fato f(0,1)=0\cdot\ln 1=0.
  • (x,y)=(1,1): aqui y^{2}-x=1-1=0, inválido (argumento do \ln igual a zero).
  • (x,y)=(4,1): aqui y^{2}-x=1-4=-3<0, inválido.
  • (x,y)=(-1,0): aqui y^{2}-x=0-(-1)=1>0, válido.

Passo 6

Como esboçar o domínio no plano (x,y):
  • Desenhe a parábola dada por x=y^{2}. Ela abre para a direita, com vértice em (0,0).
  • A região do domínio é o conjunto de pontos que ficam à esquerda dessa parábola (isto é, com abscissa menor que a abscissa da parábola para o mesmo y): sombrear a região onde x<y^{2}.
  • A linha \,x=y^{2}\, deve ser desenhada como linha tracejada (ou seja, não incluída), porque o ponto sobre essa curva não pertence ao domínio.
  • A região sombreada é aberta em relação a essa fronteira (domínio é um subconjunto aberto do plano relativo à fronteira parabólica).

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x<y^{2}\}

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