Determine e faça o esboço do domínio da função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função e fazer um esboço do domínio. A função dada é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
(peguei esta expressão da imagem enviada). - Não há outras restrições explícitas além da própria definição do logaritmo natural.
Passo 2
Entender a condição imposta pelo logaritmo: a função
está definida apenas para argumentos estritamente positivos, ou seja, para
.
Aplicando isso ao nosso caso: o argumento do logaritmo é
. Logo a condição necessária e suficiente para que
exista é
Passo 3
Manipular a desigualdade para obter uma forma mais direta envolvendo
e
.
Partimos de
Somando
aos dois lados obtemos
que reescreve como
Observação sobre sinais: aqui não houve multiplicação por número negativo, apenas uma soma, então a direção da desigualdade permanece.
Passo 4
Interpretar o resultado em termos de domínio:
- Não há nenhuma outra restrição (por exemplo,
sendo coeficiente multiplicativo não impõe problema para nenhum ); a única restrição é a desigualdade . - Portanto, todos os pares
que satisfazem são permitidos. - A curva limite
(onde ) é excluída, porque aí o argumento do seria zero e não existe. - Pontos com
também são excluídos, porque aí o argumento do seria negativo.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
: aqui , então vale; de fato . -
: aqui , inválido (argumento do igual a zero). -
: aqui , inválido. -
: aqui , válido.
Passo 6
Como esboçar o domínio no plano
:
- Desenhe a parábola dada por
. Ela abre para a direita, com vértice em . - A região do domínio é o conjunto de pontos que ficam à esquerda dessa parábola (isto é, com abscissa menor que a abscissa da parábola para o mesmo
): sombrear a região onde . - A linha
deve ser desenhada como linha tracejada (ou seja, não incluída), porque o ponto sobre essa curva não pertence ao domínio. - A região sombreada é aberta em relação a essa fronteira (domínio é um subconjunto aberto do plano relativo à fronteira parabólica).