Letermine
e
da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os quatro derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
. Vou assumir que
é a mesma função dada (ou seja,
) e calcular essas derivadas explicitamente.
Passo 2
Primeiro preciso calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete prático: a derivada parcial em relação a
trata
como constante; a derivada parcial em relação a
trata
como constante. Também uso a regra da potência: a derivada de
em relação a
é
.
Calcular
:
- Derivada de
em relação a é . - Para
, como é constante, é um fator constante; a derivada é . - Derivada de
em relação a é (não depende de ).
Portanto
Calcular
:
- Derivada de
em relação a é . - Para
, é constante; derivada de é , logo o termo dá . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 3
Agora calculo as segundas derivadas que vêm da diferenciação de
.
Calcular
. Parto de
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a (com constante) é .
Logo
Calcular
. Parto de
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo
Passo 4
Agora calculo as segundas derivadas que vêm da diferenciação de
.
Calcular
. Parto de
- Derivada de
em relação a (com constante) é . - Derivada de
em relação a é .
Logo
Calcular
. Parto de
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo
Observação final: como
é um polinômio (função
), as derivadas mistas são iguais, isto é
, o que se confirma nos cálculos.