Letermine F_{x x}, F_{x y} F_{y x} e F_{y y} da função
f(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}
e pede os quatro derivadas parciais de segunda ordem: F_{xx}, F_{xy}, F_{yx} e F_{yy}. Vou assumir que F é a mesma função dada (ou seja, F=f) e calcular essas derivadas explicitamente.

Passo 2

Primeiro preciso calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete prático: a derivada parcial em relação a x trata y como constante; a derivada parcial em relação a y trata x como constante. Também uso a regra da potência: a derivada de \,t^{n}\, em relação a t é \,n t^{n-1}.
Calcular \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x}:
f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}.
  • Derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
  • Para x^{2}y^{3}, como y é constante, y^{3} é um fator constante; a derivada é 2x\cdot y^{3}.
  • Derivada de -2y^{2} em relação a x é 0 (não depende de x).
Portanto
f_x=3x^{2}+2x\,y^{3}.
Calcular \displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y}:
  • Derivada de x^{3} em relação a y é 0.
  • Para x^{2}y^{3}, x^{2} é constante; derivada de y^{3} é 3y^{2}, logo o termo dá 3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de -2y^{2} é -4y.
Portanto
f_y=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 3

Agora calculo as segundas derivadas que vêm da diferenciação de f_x.
Calcular \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_x). Parto de
f_x=3x^{2}+2x\,y^{3}.
  • Derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x.
  • Derivada de 2x\,y^{3} em relação a x (com y constante) é 2y^{3}.
Logo
f_{xx}=6x+2y^{3}.
Calcular \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x). Parto de
f_x=3x^{2}+2x\,y^{3}.
  • Derivada de 3x^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de 2x\,y^{3} em relação a y é 2x\cdot 3y^{2}=6x\,y^{2}.
Logo
f_{xy}=6x\,y^{2}.

Passo 4

Agora calculo as segundas derivadas que vêm da diferenciação de f_y.
Calcular \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y). Parto de
f_y=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a x (com y constante) é 6x\,y^{2}.
  • Derivada de -4y em relação a x é 0.
Logo
f_{yx}=6x\,y^{2}.
Calcular \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_y). Parto de
f_y=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a y é 3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
  • Derivada de -4y em relação a y é -4.
Logo
f_{yy}=6x^{2}y-4.
Observação final: como f é um polinômio (função C^{\infty}), as derivadas mistas são iguais, isto é f_{xy}=f_{yx}, o que se confirma nos cálculos.

Resposta

F_{xx}=6x+2y^{3}
F_{xy}=6x\,y^{2}
F_{yx}=6x\,y^{2}
F_{yy}=6x^{2}y-4

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