Calcule \frac{7-6 i}{2-3 i}.
Escolha uma opção:
◯ C. \frac{7}{2}-2 i
◯ a. \frac{32}{13}+\frac{9}{13} i
◯ b. \frac{32}{13}-\frac{9}{13} i
◯ d. \frac{7}{13}-\frac{9}{13} i
◯ e. \frac{7}{2}+2 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \dfrac{7-6 i}{2-3 i} e escolher a alternativa correta entre as dadas. As informações relevantes são:
  • Numerador: 7-6 i.
  • Denominador: 2-3 i.
  • Precisa-se da forma padrão de um número complexo a+bi para comparar com as alternativas.

Passo 2

Método que vou usar (explicação didática):
Para dividir números complexos é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, porque isso torna o denominador um número real. O conjugado de 2-3 i é 2+3 i. Multiplicar pelo conjugado não altera o valor da fração, pois é equivalente a multiplicar por 1:
\frac{7-6 i}{2-3 i}=\frac{7-6 i}{2-3 i}\cdot\frac{2+3 i}{2+3 i}=\frac{(7-6 i)(2+3 i)}{(2-3 i)(2+3 i)}.
Lembrete: i^2=-1. Também vale a identidade (a-bi)(a+bi)=a^2+b^2, que explica por que o denominador vira real.

Passo 3

Calcular o numerador (7-6 i)(2+3 i) passo a passo usando distributiva:
(7-6 i)(2+3 i)=7\cdot2 + 7\cdot(3 i) + (-6 i)\cdot2 + (-6 i)\cdot(3 i).
Agora calculando cada termo:
7\cdot2=14,\qquad 7\cdot(3 i)=21 i,\qquad (-6 i)\cdot2=-12 i,
(-6 i)\cdot(3 i)=-18 i^2=-18(-1)=18.
Somando as partes reais e as partes imaginárias:
14+18=32,\qquad 21 i-12 i=9 i.
Portanto o numerador é
(7-6 i)(2+3 i)=32+9 i.

Passo 4

Calcular o denominador (2-3 i)(2+3 i). Aplicando a identidade mencionada:
(2-3 i)(2+3 i)=2^2+(3)^2=4+9=13.
Assim o denominador é o real 13.

Passo 5

Agora dividimos cada parte do numerador pelo denominador para escrever na forma a+bi:
\frac{32+9 i}{13}=\frac{32}{13}+\frac{9}{13} i.

Resposta

\dfrac{32}{13}+\dfrac{9}{13} i

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