Determine e faça o esboço do domínio da função.
u(x ; y)=\ln \left(x^{2}+y\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
u(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y\bigr).
O conteúdo aqui é identificar onde o logaritmo natural está definido: precisamos de condições sobre x e y para que o argumento seja estritamente positivo.

Passo 2

Lembrando a definição, o logaritmo natural \ln(t) só existe para t>0.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, impomos
x^{2}+y>0,
que equivale a
y>-x^{2}.

Passo 4

Portanto, o domínio D da função é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano que satisfazem
y>-x^{2}.

Passo 5

Para esboçar o domínio, trace a curva fronteira
y=-x^{2}
(no gráfico, uma parábola virada para baixo) e sombreie a região acima dessa parábola. A reta curva em si não pertence ao domínio, pois em y=-x^{2} teríamos \ln(0), que não está definido.

Resposta

D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>-x^{2}\bigr\}.

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