Determine e faça o esboço do domínio da função.
u(x ; y ; z)=\ln (x y z)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de três variáveis
u(x,y,z)=\ln(x\,y\,z)
ou seja, queremos o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em que a função esteja bem definida. O conteúdo aqui é domínio de funções reais envolvendo logaritmo.

Passo 2

Lembrando que a função \ln(w) está definida apenas para w>0.

Passo 3

No nosso caso, temos w = x\,y\,z. Logo, a condição para existir u(x,y,z) é
x\,y\,z > 0.

Passo 4

Um produto de três números reais é positivo quando o número de fatores negativos é par (0 ou 2). Assim, as possibilidades são:
  1. Todos positivos:
x>0,\;y>0,\;z>0.
  1. Dois negativos e um positivo:
\begin{cases} x>0,\;y<0,\;z<0,\\\ x<0,\;y>0,\;z<0,\\\ x<0,\;y<0,\;z>0. \end{cases}

Passo 5

Portanto, o domínio D é a união desses quatro octantes abertos de \mathbb{R}^3:
D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\,y\,z>0\}.

Passo 6

Esboço do domínio: no sistema de eixos (x,y,z), pintamos apenas os quatro octantes onde o produto x\,y\,z é positivo, a saber:
  • o octante onde x>0,y>0,z>0,
  • os três octantes onde exatamente dois sinais são negativos.

Resposta

D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\,y\,z>0\},
isto é, a união dos octantes em que o produto x\,y\,z é positivo.

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