Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
: determinar o domínio (ou seja, todos os pares
para os quais
está definida) e fazer um esboço (desenho) desse domínio no plano
. As informações relevantes que temos do enunciado são: a função é a função logaritmo natural aplicada à expressão
; portanto a definição do logaritmo sobre essa expressão é a condição que vai determinar o domínio.
Passo 2
Entendendo a função logaritmo natural: a função
está definida apenas para valores
estritamente positivos. Isto vem da definição do logaritmo (domínio real): não podemos tirar logaritmo de zero nem de números negativos no conjunto dos reais. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
porque
.
não existe (indefinido).
não existe no domínio real.
Portanto, sempre que aparecer uma expressão dentro de , precisamos impor que essa expressão seja maior que zero.
Portanto, sempre que aparecer uma expressão dentro de
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: queremos que o argumento do logaritmo seja positivo. Logo impomos a desigualdade
Isto é a condição necessária e suficiente para que
esteja definida (no domínio dos reais).
Passo 4
Agora vamos manipular essa desigualdade para escrever de forma mais intuitiva. Subtraindo
e
de ambos os lados, obtemos
Essa forma é útil porque descreve o conjunto de pontos
no plano que estão acima da reta dada por
.
Passo 5
Escrevendo o domínio de forma formal em notação de conjuntos:
ou equivalentemente
Expliquei cada símbolo:
é o plano de todos os pares reais
; a barra
significa “tais que”; e a condição depois é a desigualdade que define o subconjunto.
Passo 6
Interpretação geométrica (como é o domínio no plano): a equação da reta de fronteira é
Essa reta tem coeficiente angular
(inclinação negativa) e intercepto no eixo
igual a
. Dois pontos fáceis para desenhar a reta: quando
temos
(ponto
); quando
temos
(ponto
). A condição
indica o semi-plano estritamente acima dessa reta — isto é, a região do plano que fica do lado onde
é maior que o valor da reta.
Passo 7
Observações importantes para o esboço:
- A reta
NÃO faz parte do domínio porque a desigualdade é estrita ( ); se estivéssemos com a reta estaria incluída. No ponto de fronteira, e é indefinido. - O domínio é um semi-plano aberto — isto quer dizer que é uma região ilimitada (vai para o infinito) e sem a sua fronteira.
- Um ponto teste para checar se você sombreou o lado correto: o ponto
satisfaz , logo pertence ao domínio. Já dá , então não pertence.
Passo 8
Como desenhar rapidamente (passo a passo para o esboço na prova):
- Trace a reta passando por
e . Use linha tracejada (ou pontilhada) para indicar que a reta não pertence ao domínio. - Escolha o ponto
. Como satisfaz a condição, sombreie o lado da reta que contém — isto é, a região acima da reta. - Opcional: marque um ponto fora (por exemplo
) para confirmar que a outra região não pertence.
Passo 9
Resumo conceitual final (para decorar e usar na prova): sempre que tiver
, imponha
, resolva a desigualdade e interprete geometricamente se for em duas variáveis. No caso de
obtivemos um semi-plano aberto delimitado pela reta
.
Resposta
Meia-plano aberto acima da reta