Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (x+y+1);

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=\ln(x+y+1): determinar o domínio (ou seja, todos os pares (x,y) para os quais f está definida) e fazer um esboço (desenho) desse domínio no plano (x,y). As informações relevantes que temos do enunciado são: a função é a função logaritmo natural aplicada à expressão x+y+1; portanto a definição do logaritmo sobre essa expressão é a condição que vai determinar o domínio.

Passo 2

Entendendo a função logaritmo natural: a função \ln(t) está definida apenas para valores t estritamente positivos. Isto vem da definição do logaritmo (domínio real): não podemos tirar logaritmo de zero nem de números negativos no conjunto dos reais. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
\ln(1)=0 porque e^0=1.
\ln(0) não existe (indefinido).
\ln(-1) não existe no domínio real.
Portanto, sempre que aparecer uma expressão dentro de \ln(\cdot), precisamos impor que essa expressão seja maior que zero.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: queremos que o argumento do logaritmo seja positivo. Logo impomos a desigualdade
x+y+1>0.
Isto é a condição necessária e suficiente para que \ln(x+y+1) esteja definida (no domínio dos reais).

Passo 4

Agora vamos manipular essa desigualdade para escrever de forma mais intuitiva. Subtraindo x e 1 de ambos os lados, obtemos
y>-x-1.
Essa forma é útil porque descreve o conjunto de pontos (x,y) no plano que estão acima da reta dada por y=-x-1.

Passo 5

Escrevendo o domínio de forma formal em notação de conjuntos:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y+1>0\}
ou equivalentemente
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>-x-1\}.
Expliquei cada símbolo: \mathbb{R}^2 é o plano de todos os pares reais (x,y); a barra \mid significa “tais que”; e a condição depois é a desigualdade que define o subconjunto.

Passo 6

Interpretação geométrica (como é o domínio no plano): a equação da reta de fronteira é
y=-x-1.
Essa reta tem coeficiente angular -1 (inclinação negativa) e intercepto no eixo y igual a -1. Dois pontos fáceis para desenhar a reta: quando x=0 temos y=-1 (ponto (0,-1)); quando y=0 temos x=-1 (ponto (-1,0)). A condição y>-x-1 indica o semi-plano estritamente acima dessa reta — isto é, a região do plano que fica do lado onde y é maior que o valor da reta.

Passo 7

Observações importantes para o esboço:
  • A reta y=-x-1 NÃO faz parte do domínio porque a desigualdade é estrita ( >); se estivéssemos com \ge a reta estaria incluída. No ponto de fronteira, x+y+1=0 e \ln(0) é indefinido.
  • O domínio é um semi-plano aberto — isto quer dizer que é uma região ilimitada (vai para o infinito) e sem a sua fronteira.
  • Um ponto teste para checar se você sombreou o lado correto: o ponto (0,0) satisfaz 0+0+1=1>0, logo (0,0) pertence ao domínio. Já (-2,0) -2+0+1=-1\le 0, então não pertence.

Passo 8

Como desenhar rapidamente (passo a passo para o esboço na prova):
  1. Trace a reta passando por (0,-1) e (-1,0). Use linha tracejada (ou pontilhada) para indicar que a reta não pertence ao domínio.
  2. Escolha o ponto (0,0). Como (0,0) satisfaz a condição, sombreie o lado da reta que contém (0,0) — isto é, a região acima da reta.
  3. Opcional: marque um ponto fora (por exemplo (-2,0)) para confirmar que a outra região não pertence.

Passo 9

Resumo conceitual final (para decorar e usar na prova): sempre que tiver \ln(\text{expressão})ã, imponha \text{expressão}>0ã, resolva a desigualdade e interprete geometricamente se for em duas variáveis. No caso de \ln(x+y+1) obtivemos um semi-plano aberto delimitado pela reta y=-x-1.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y+1>0\}
Meia-plano aberto acima da reta \,y=-x-1, com a reta \emph{não} incluída.

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