Determine se as sequéncias abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se eristir, usando as propriedades de limites.
2.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é convergente e, se for, calcular o seu limite. A sequência dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A fórmula explícita do termo geral é
. - Precisamos decidir convergência (existe limite finito?) e, se existir, encontrar esse limite.
Passo 2
Vou estudar primeiro a parte positiva da expressão, isto é a sequência dos módulos (a parte sem o sinal alternante)
Para calcular
é útil simplificar dividindo numerador e denominador por
. Isso é uma técnica padrão para limites de quocientes em que as duas partes crescem com
:
Aqui usei a álgebra elementar: dividi tudo por
. Agora note que
quando
(é intuitivo: 1 dividido por um número que cresce muito dá zero). Pelo teorema das operações com limites (se
então
para operações contínuas) temos
Resumo: a parte de módulo converge para
.
Passo 3
Agora observe o fator de sinal
Vamos ver os valores de
: quando
é ímpar temos
; quando
é par temos
. Ou seja, a sequência
alterna entre
e
e não tende a um único número quando
. Formalmente, os subsequentes para índices pares e ímpares apresentam limites diferentes (
e
), então
não converge.
Passo 4
Para decidir a convergência de
é muito prático separar duas subsequências: uma tomando apenas
ímpar e outra tomando apenas
par. Lembre-se do fato importante (teorema): se uma sequência converge para
então toda subsequência também converge para
. Portanto, se encontrarmos duas subsequências com limites diferentes, a sequência original não pode convergir.
Considere a subsequência dos
ímpares. Escreva
(com
). Para esses
temos
, então
Como
o comportamento é o mesmo que antes: dividir numerador e denominador por
dá limite
Agora a subsequência dos
pares: escreva
. Para esses
temos
, então
Dividindo por
e tomando
obtemos
Passo 5
Como obtivemos duas subsequências com limites diferentes:
pela observação teórica citada anteriormente segue que a sequência
não pode ter um único limite quando
. Em outras palavras,
não é convergente, porque oscila entre valores próximos de
e
à medida que
cresce.
Dica prática para provas: se tiver uma sequência da forma
e
, então a sequência não converge (porque os termos tendem a oscilar entre
e
). Se
, aí a sequência pode convergir para
.
Resposta
A sequência
não é convergente (não existe limite).