Determine se as sequéncias abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se eristir, usando as propriedades de limites.
2.
a_{n}=(-1)^{n+1} \cdot \frac{n}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência a_{n} é convergente e, se for, calcular o seu limite. A sequência dada é
a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n}{2n+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita do termo geral é a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n}{2n+1}.
  • Precisamos decidir convergência (existe limite finito?) e, se existir, encontrar esse limite.

Passo 2

Vou estudar primeiro a parte positiva da expressão, isto é a sequência dos módulos (a parte sem o sinal alternante)
b_{n}=\frac{n}{2n+1}.
Para calcular \lim_{n\to\infty} b_{n} é útil simplificar dividindo numerador e denominador por n. Isso é uma técnica padrão para limites de quocientes em que as duas partes crescem com n:
b_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\dfrac{1}{n}}.
Aqui usei a álgebra elementar: dividi tudo por n. Agora note que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty (é intuitivo: 1 dividido por um número que cresce muito dá zero). Pelo teorema das operações com limites (se x_n\to x então f(x_n)\to f(x) para operações contínuas) temos
\lim_{n\to\infty} b_{n}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}.
Resumo: a parte de módulo converge para \dfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora observe o fator de sinal
c_{n}=(-1)^{n+1}.
Vamos ver os valores de c_{n}: quando n é ímpar temos c_{n}=+1; quando n é par temos c_{n}=-1. Ou seja, a sequência c_{n} alterna entre +1 e -1 e não tende a um único número quando n\to\infty. Formalmente, os subsequentes para índices pares e ímpares apresentam limites diferentes ( +1 e -1), então c_{n} não converge.

Passo 4

Para decidir a convergência de a_{n}=c_{n}\cdot b_{n} é muito prático separar duas subsequências: uma tomando apenas n ímpar e outra tomando apenas n par. Lembre-se do fato importante (teorema): se uma sequência converge para L então toda subsequência também converge para L. Portanto, se encontrarmos duas subsequências com limites diferentes, a sequência original não pode convergir.
Considere a subsequência dos n ímpares. Escreva n=2k-1 (com k\in\mathbb{N}). Para esses n temos c_{n}=1, então
a_{2k-1}=1\cdot\frac{2k-1}{2(2k-1)+1}=\frac{2k-1}{4k-1}.
Como k\to\infty o comportamento é o mesmo que antes: dividir numerador e denominador por k dá limite
\lim_{k\to\infty} a_{2k-1}=\frac{1}{2}.
Agora a subsequência dos n pares: escreva n=2k. Para esses n temos c_{n}=-1, então
a_{2k}=-1\cdot\frac{2k}{2(2k)+1}=-\frac{2k}{4k+1}.
Dividindo por k e tomando k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Como obtivemos duas subsequências com limites diferentes:
\lim_{k\to\infty} a_{2k-1}=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad \lim_{k\to\infty} a_{2k}=-\frac{1}{2},
pela observação teórica citada anteriormente segue que a sequência a_{n} não pode ter um único limite quando n\to\infty. Em outras palavras, a_{n} não é convergente, porque oscila entre valores próximos de +\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2} à medida que n cresce.
Dica prática para provas: se tiver uma sequência da forma (-1)^{n}\cdot d_{n} e d_{n}\to d\neq 0, então a sequência não converge (porque os termos tendem a oscilar entre d e -d). Se d=0, aí a sequência pode convergir para 0.

Resposta

A sequência a_{n} não é convergente (não existe limite).

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