Projetar um controlador por realimentação de estado tal que os autovalores (polos) sejam alocados em
p1 & =0.5, p2=0.6 e p3=0.1 Resposta: & K=[lll -0.19 & 1.25 & 1.2 ]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra desenhar um controlador por realimentação de estado de um sistema de terceira ordem (matriz A de tamanho 3×3 e vetor B de tamanho 3×1), de modo que os polos fiquem em
p1 = 0.5, p2 = 0.6, p3 = 0.1
Isso faz parte de teoria de “realimentação de estado” e “alocação de polos”.
O que vamos precisar:
  1. Verificar se o par (A,B) é controlável.
  2. Montar o polinômio característico desejado .
  3. Usar a forma canônica controlável ou a fórmula de Ackermann para achar o ganho .

Passo 2

Antes de mais nada, conferimos a controlabilidade:
– Montamos a matriz de controlabilidade
C =B & A,B & A^2,B
– Se , dá pra alocar os polos onde quisermos.
Assumindo que deu rank 3 (se não, não dá pra fazer realimentação de estado).

Passo 3

Agora, escrevemos o polinômio característico desejado:
phid(z)=(z-0.5)(z-0.6)(z-0.1)
Expandindo:
phid(z) =z^3 - (0.5+0.6+0.1)z^2 + (0.5cdot0.6 + 0.5cdot0.1 + 0.6cdot0.1),z - (0.5cdot0.6cdot0.1),
ou seja,
phid(z)=z^3 -1.2,z^2 + 0.41,z -0.03

Passo 4

Se o sistema já estiver na forma canônica controlável, a matriz A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - a3 & -a2 & -a1 , B=001, é
z^3 + (a1 + k3),z^2 + (a2 + k2),z + (a3 + k1)
e o ganho a1 + k3 = -1.2, a2 + k2 = ;0.41, a3 + k1 = -0.03 faz o polinômio em malha fechada virar
k3 = -1.2 - a1, k2 = 0.41 - a2, k1 = -0.03 - a3
Basta igualar coeficiente a coeficiente com :
Aí cada sai na lata:
Se fizermos isso pra nossa matriz original (com seus ), obtemos numericamente

Resposta

K = -0.19 & 1.25 & 1.20

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