Considere a equação característica abaixo;
s^4+2 s^3+(4+K) s^2+9 s+25=0
Determine a faixa de K para a estabilidade.

Passo 1

Beleza, amigo! A gente tem a equação característica
s^4 + 2 s^3 + (4+K) s^2 + 9 s + 25 = 0
O assunto é estabilidade de sistemas contínuos e vamos usar o critério de Routh–Hurwitz.
Para resolver, a gente vai montar a tabela de Routh, garantindo que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos.

Passo 2

Vamos montar as duas primeiras linhas da tabela de Routh:
Linha c|cc s^4 & 1 & 4+K & 25 hline s^3 & 2 & 9 & 0 : pega os coeficientes de ordem par e ímpar começando em 4:
Aqui só “colamos” os coeficientes: (de ), depois , depois ; na linha de , vem , e “0” (já que não há termo depois do 9).

Passo 3

Agora calculamos a linha a = (s^3[1º]) cdot (s^4[2º]) - (s^4[1º]) cdot (s^3[2º])(s^3[1º]) . A fórmula geral para o primeiro elemento desta linha é
a = 2 cdot (4+K) ;-; 1 cdot 92 =8 + 2K - 92 =2K -12 ººººº
Substituindo:
b = 2cdot 25 - 1cdot 02 = 25
O segundo elemento da linha c|cc s^2 & tfrac2K-12 & 25 é
Então a linha fica

Passo 4

Para a linha c = l(tfrac2K-12r)cdot 9 ;-; 2cdot 25tfrac2K-12 =tfrac18K-92 - 50tfrac2K-12 =18K - 1092K -1 , usamos de novo a mesma “receita”:
c|c s^1 & tfrac18K-1092K-1 hline s^0 & 25
(Outra coluna daria zero, mas a gente só se importa com a primeira coluna.)
O último valor, linha , é sempre o termo independente:

Passo 5

Pelo critério de Routh, todos os valores da primeira coluna têm que ser positivos:
  1. 18K - 109 > 0 Longrightarrow K > 10918approx 6,056 – ok;
  2. – ok;
  3. – ok.
Como já exigimos , o denominador está positivo. Então a última desigualdade vira

Resposta

Para que o sistema seja estável, deve acontecer
boxedK > 10918

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