Determine a família de primitivas de g(t)=\ln |t|.

Passo 1

O enunciado pede a família de primitivas de g(t)=\ln|t|, ou seja, encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=\ln|t|. Vamos usar o método de integração por partes para resolver \displaystyle\int \ln|t|\,dt.

Passo 2

O método de integração por partes baseia-se na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui escolhemos as partes de forma a simplificar a integral restante.

Passo 3

Definimos
u = \ln|t|, \quad dv = dt.
Com isso, precisamos calcular du e v.

Passo 4

Derivando e integrando, obtemos
du = \frac{1}{t}\,dt, \quad v = \int dv = \int dt = t.

Passo 5

Aplicando integração por partes:
\int \ln|t|\,dt = u\,v - \int v\,du = t\ln|t| - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln|t| - \int 1\,dt = t\ln|t| - t + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A família de primitivas de g(t)=\ln|t| é
F(t)=t\ln|t| - t + C,\quad C\in\mathbb{R}.

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