Considere duas curvas: \r \vec{r}_{1}(t)=(\cos t, \sin t, 2 t)\r e \r \vec{r}_{2}(t)=(\cos t, \sin t, 3 t)\r. Ambas projetamse no plano \r x y\r como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?

Passo 1

O enunciado apresenta duas curvas no espaço
\vec r_1(t)=(\cos t,\sin t,2t) e \vec r_2(t)=(\cos t,\sin t,3t),
que, quando projetadas no plano xy, ambas descrevem a circunferência de raio 1. O conteúdo aqui é curva espacial e projeção; vamos ver como elas diferem em 3D.

Passo 2

Para olhar a projeção, basta ignorar a terceira componente. Em ambos os casos temos
(x,y)=(\cos t,\sin t),
que é exatamente a parametrização de uma circunferência de raio 1 no plano xy.

Passo 3

Em 3D, além de girar em torno do eixo z, cada curva sobe com velocidade constante na direção z. Note que
\displaystyle \frac{dz_1}{dt}=2 e \displaystyle \frac{dz_2}{dt}=3.
Ou seja, enquanto ambas giram à mesma taxa angular, a segunda curva sobe mais rápido.

Passo 4

Essa subida mais rápida se traduz no pitch (passo) da hélice, que é o quanto a curva avança em z a cada volta completa ( t varia de 0 a 2\pi):
\text{pitch}_1 = 2\cdot(2\pi)=4\pi, \qquad \text{pitch}_2 = 3\cdot(2\pi)=6\pi.
Logo, \vec r_2 forma uma hélice com voltas mais espaçadas que \vec r_1.

Passo 5

Em termos de geometria diferencial, isso também reflete em diferentes curvaturas e torções:
\kappa_b=\frac1{1+b^2}, \quad \tau_b=\frac b{1+b^2},
onde b=2 para \vec r_1 e b=3 para \vec r_2. Assim, ambas são hélices de mesmo raio mas com valores distintos de \kappa e \tau.

Resposta

A diferença principal é o pitch da hélice: \vec r_1 sobe 4\pi unidades em z a cada volta, enquanto \vec r_2 sobe 6\pi. Em outras palavras, \vec r_2 é uma hélice mais “esticada” (maior taxa de subida) que \vec r_1.

Exercícios relacionados