Considere duas curvas: \r
\r e \r
\r. Ambas projetamse no plano \r
\r como uma circunferência. Qual diferença principal há entre elas no espaço?
Passo 1
O enunciado apresenta duas curvas no espaço
e
,
que, quando projetadas no plano , ambas descrevem a circunferência de raio 1. O conteúdo aqui é curva espacial e projeção; vamos ver como elas diferem em 3D.
que, quando projetadas no plano
Passo 2
Para olhar a projeção, basta ignorar a terceira componente. Em ambos os casos temos
que é exatamente a parametrização de uma circunferência de raio 1 no plano
.
Passo 3
Em 3D, além de girar em torno do eixo
, cada curva sobe com velocidade constante na direção
. Note que
e
.
Ou seja, enquanto ambas giram à mesma taxa angular, a segunda curva sobe mais rápido.
Ou seja, enquanto ambas giram à mesma taxa angular, a segunda curva sobe mais rápido.
Passo 4
Essa subida mais rápida se traduz no pitch (passo) da hélice, que é o quanto a curva avança em
a cada volta completa (
varia de
a
):
Logo,
forma uma hélice com voltas mais espaçadas que
.
Passo 5
Em termos de geometria diferencial, isso também reflete em diferentes curvaturas e torções:
onde
para
e
para
. Assim, ambas são hélices de mesmo raio mas com valores distintos de
e
.
Resposta
A diferença principal é o pitch da hélice:
sobe
unidades em
a cada volta, enquanto
sobe
. Em outras palavras,
é uma hélice mais “esticada” (maior taxa de subida) que
.