Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede uma família de soluções (isto é, achar
em função de
, com uma constante arbitrária). Vou listar claramente o que temos:
- Equação dada:
. - Queremos encontrar todas as soluções
(ou, quando existir, soluções singulares). - Observação importante para o método: essa equação envolve termos homogêneos em
e (grau 2), então faz sentido testar a substituição . Não começarei a resolver aqui; só identifiquei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro passo algébrico para pôr a EDO em forma explícita: divido por
(assumindo
) e isolamos
:
Passo 3
Note que o lado direito depende apenas da razão
:
Quando a derivada pode ser escrita só em função de
, a substituição padrão é
, com
. Explico a ideia: escrever
como
transforma a EDO para uma em
e
onde normalmente podemos separar variáveis.
Passo 4
Faço a substituição
. Então
Substituo na expressão de
:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Agora separamos variáveis. Escrevemos
Observação importante: nessa separação dividimos por
, portanto a manipulação assume
. O caso
(ou seja
, isto é
) deve ser tratado separadamente como possível solução singular.
Passo 6
Integramos ambos os lados. A primitiva de
é
. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
. Primeiro reescrevemos:
Definindo uma nova constante arbitrária
(ou simplesmente escrevendo
trocado de sinal), fica mais simples:
Invertendo,
Portanto
Passo 8
Voltando à variável original
com
, obtemos a família geral (para
e
):
Esta é a família de soluções obtida pela separação. Observe as restrições de domínio:
(porque fizemos
) e
(para evitar divisão por zero).
Passo 9
Trato agora o caso singular
que ficou excluído na separação. Se
então
. Substituo na equação original para verificar:
logo
é realmente solução da EDO (solução singular/integral correspondente a
).