Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
\left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right)\,d x-x^{2}\,d y=0
e pede uma família de soluções (isto é, achar y em função de x, com uma constante arbitrária). Vou listar claramente o que temos:
  • Equação dada: \left(x^{2}+3 x y+y^{2}\right)\,d x-x^{2}\,d y=0.
  • Queremos encontrar todas as soluções y(x) (ou, quando existir, soluções singulares).
  • Observação importante para o método: essa equação envolve termos homogêneos em x e y (grau 2), então faz sentido testar a substituição y=vx. Não começarei a resolver aqui; só identifiquei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo algébrico para pôr a EDO em forma explícita: divido por d x (assumindo d x\neq0) e isolamos y'\equiv\dfrac{d y}{d x}:
x^{2}+3 x y+y^{2}-x^{2}\frac{d y}{d x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 x y+y^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Note que o lado direito depende apenas da razão y/x:
\frac{x^{2}+3 x y+y^{2}}{x^{2}}=1+3\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Quando a derivada pode ser escrita só em função de y/x, a substituição padrão é \,y=vx, com v=v(x). Explico a ideia: escrever y como v x transforma a EDO para uma em v e x onde normalmente podemos separar variáveis.

Passo 4

Faço a substituição y=vx. Então
\frac{d y}{d x}=v+x\frac{d v}{d x}.
Substituo na expressão de \dfrac{d y}{d x}:
v+x\frac{d v}{d x}=1+3v+v^{2}.
Rearranjando os termos:
x\frac{d v}{d x}=1+3v+v^{2}-v=1+2v+v^{2}=(v+1)^{2}.

Passo 5

Agora separamos variáveis. Escrevemos
\frac{d v}{(v+1)^{2}}=\frac{d x}{x}.
Observação importante: nessa separação dividimos por (v+1)^{2}, portanto a manipulação assume v+1\neq0. O caso v+1=0 (ou seja v=-1, isto é y=-x) deve ser tratado separadamente como possível solução singular.

Passo 6

Integramos ambos os lados. A primitiva de (v+1)^{-2} é -(v+1)^{-1}. Assim:
\int\frac{d v}{(v+1)^{2}}=\int\frac{d x}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{v+1}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos v. Primeiro reescrevemos:
\frac{1}{v+1}=-\ln|x|-C.
Definindo uma nova constante arbitrária C_{1}=-C (ou simplesmente escrevendo C trocado de sinal), fica mais simples:
\frac{1}{v+1}=C-\ln|x|.
Invertendo,
v+1=\frac{1}{C-\ln|x|}.
Portanto
v=\frac{1}{C-\ln|x|}-1.

Passo 8

Voltando à variável original y com v=\dfrac{y}{x}, obtemos a família geral (para x\neq0 e C-\ln|x|\neq0):
\frac{y}{x}=\frac{1}{C-\ln|x|}-1 \quad\Longrightarrow\quad y=x\!\left(\frac{1}{C-\ln|x|}-1\right).
Esta é a família de soluções obtida pela separação. Observe as restrições de domínio: x\neq0 (porque fizemos y/x) e C-\ln|x|\neq0 (para evitar divisão por zero).

Passo 9

Trato agora o caso singular v=-1 que ficou excluído na separação. Se v=-1 então y=-x. Substituo na equação original para verificar:
\left(x^{2}+3x(-x)+(-x)^{2}\right)\,d x-x^{2}\,d(-x)=(-x^{2})\,d x + x^{2}\,d x=0,
logo y=-x é realmente solução da EDO (solução singular/integral correspondente a v+1=0).

Resposta

y=x\!\left(\dfrac{1}{C-\ln|x|}-1\right), com C constante arbitrária (solução geral, válida para x\neq0 e C-\ln|x|\neq0).
y=-x (solução singular).

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