Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar uma família de soluções (ou seja, a solução geral com uma constante arbitrária). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
e por . - Não foi dada condição inicial, logo buscamos a solução geral com uma constante
.
Nada mais será resolvido neste passo; agora vamos transformar e resolver a EDO passo a passo.
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando
e interpretando
como função de
. Isto é conveniente porque a equação já apresenta
e
de forma que fica natural calcular
. Fazendo a manipulação:
Dividindo por
obtemos a forma diferencial:
Passo 3
Colocamos a EDO na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem para a função
. A forma padrão é
Comparando com
, escrevemos
logo aqui
e
.
Explicação rápida (didática) do método que vamos usar: para a equação linear
existe um fator integrante
. Multiplicando a equação por
torna o lado esquerdo a derivada de
, o que permite integrar facilmente ambos os lados.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
. Como
,
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto
. De fato, pela regra do produto,
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Da igualdade
segue, ao integrar,
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Isolamos
para obter a solução explícita. Multiplicando por
,
Uma forma equivalente e muitas vezes útil é a forma implícita
Passo 7
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando a solução explícita
,
que coincide com a equação original
. Portanto a solução está correta.