Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
\left(x+e^{y}\right) d y-d x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x+e^{y}\right)\,dy-dx=0
e pede para determinar uma família de soluções (ou seja, a solução geral com uma constante arbitrária). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x e y por \left(x+e^{y}\right)\,dy-dx=0.
  • Não foi dada condição inicial, logo buscamos a solução geral com uma constante C.
    Nada mais será resolvido neste passo; agora vamos transformar e resolver a EDO passo a passo.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando dx e interpretando x como função de y. Isto é conveniente porque a equação já apresenta dy e dx de forma que fica natural calcular \dfrac{dx}{dy}. Fazendo a manipulação:
\left(x+e^{y}\right)\,dy-dx=0 \quad\Longrightarrow\quad dx=(x+e^{y})\,dy.
Dividindo por dy obtemos a forma diferencial:
\frac{dx}{dy}=x+e^{y}.

Passo 3

Colocamos a EDO na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem para a função x(y). A forma padrão é
\frac{dx}{dy}+P(y)\,x=Q(y).
Comparando com \dfrac{dx}{dy}=x+e^{y}, escrevemos
\frac{dx}{dy}-x=e^{y},
logo aqui P(y)=-1 e Q(y)=e^{y}.
Explicação rápida (didática) do método que vamos usar: para a equação linear \dfrac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y) existe um fator integrante \mu(y)=e^{\int P(y)\,dy}. Multiplicando a equação por \mu(y) torna o lado esquerdo a derivada de \mu(y)x, o que permite integrar facilmente ambos os lados.

Passo 4

Calculamos o fator integrante \mu(y). Como P(y)=-1,
\mu(y)=e^{\int P(y)\,dy}=e^{\int -1\,dy}=e^{-y}.
Multiplicamos toda a equação por \mu(y):
e^{-y}\frac{dx}{dy}-e^{-y}x = e^{-y}e^{y}=1.
Agora reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto \mu(y)x. De fato, pela regra do produto,
\frac{d}{dy}\big(e^{-y}x\big)=e^{-y}\frac{dx}{dy}-e^{-y}x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y. Da igualdade
\frac{d}{dy}\big(e^{-y}x\big)=1
segue, ao integrar,
e^{-y}x=\int 1\,dy = y + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Isolamos x para obter a solução explícita. Multiplicando por e^{y},
x = e^{y}\big(y + C\big).
Uma forma equivalente e muitas vezes útil é a forma implícita
x e^{-y}-y=C.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro): derivando a solução explícita x(y)=e^{y}(y+C),
\frac{dx}{dy}=e^{y}(y+C)+e^{y}=e^{y}(y+C)+e^{y}=x+e^{y},
que coincide com a equação original \dfrac{dx}{dy}=x+e^{y}. Portanto a solução está correta.

Resposta

x = e^{y}\big(y + C\big)

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