Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial dada é
. - O que se pede: determinar uma família de soluções (ou seja, a solução geral da EDO).
- Observação importante que já dá pista: a variável
multiplica , portanto é ponto singular da equação — a solução geral será obtida em intervalos onde .
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem,
.
Começo rearranjando os termos:
trago o
para o lado esquerdo:
fatoro
nos termos que o multiplicam:
Agora divido por
(válido para
):
Daqui identifico
Passo 3
Explicar o método a ser usado: fator integrante para EDO linear de 1ª ordem.
- Para resolver
usa-se o fator integrante . - Multiplicando a EDO por
transforma-se o lado esquerdo em , o que facilita integrar.
Vou calcular
. Primeiro a integral de
:
Logo
Para trabalhar com mais simplicidade em intervalos onde
ou
posso escolher
(para
) ou
(para
). Como constante multiplicativa pode ser absorvida no constante de integração, uso convenientemente
entendendo que a solução vale em intervalos onde
.
Passo 4
Multiplico a equação por
e escrevo como derivada:
Partindo da forma
multiplicando por
dá
Simplificando:
Pelo cálculo do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Agora isolo
:
Passo 6
Interpretação, domínio e formas equivalentes.
- A expressão encontrada é
válida para
. Essa é a família geral de soluções definida em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo
ou
).
- Podemos também escrever a solução como
Passo 7
Verificações rápidas e nota sobre
.
- Verificação para
: . Calculo rápido:
e
portanto satisfaz a EDO.
- A EDO original, avaliada em
, reduz-se a , que exige . A solução geral acima tende para um valor finito quando somente se escolhermos . De fato, para :
e
, permitindo estender continuamente a solução para
definindo
. Mesmo assim, como a EDO é singular em
, a derivada em
não é determinada pela forma diferencial original; portanto a solução estendida é uma continuação particular, não a consequência direta do método padrão em
.