Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
x \frac{d y}{d x}+x y=1-y

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial dada é x \dfrac{dy}{dx} + x y = 1 - y.
  • O que se pede: determinar uma família de soluções (ou seja, a solução geral da EDO).
  • Observação importante que já dá pista: a variável x multiplica \dfrac{dy}{dx}, portanto x=0 é ponto singular da equação — a solução geral será obtida em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, \dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Começo rearranjando os termos:
x \frac{dy}{dx} + x y = 1 - y
trago o -y para o lado esquerdo:
x \frac{dy}{dx} + x y + y = 1
fatoro y nos termos que o multiplicam:
x \frac{dy}{dx} + (x+1)\,y = 1.
Agora divido por x (válido para x\neq0):
\frac{dy}{dx} + \frac{x+1}{x}\,y = \frac{1}{x}.
Daqui identifico
P(x)=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Explicar o método a ser usado: fator integrante para EDO linear de 1ª ordem.
  • Para resolver \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) usa-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big).
  • Multiplicando a EDO por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big), o que facilita integrar.
Vou calcular \mu(x). Primeiro a integral de P(x):
\int P(x)\,dx=\int\left(1+\frac{1}{x}\right)dx = x + \ln|x|.
Logo
\mu(x)=\exp\!\big(x+\ln|x|\big) = e^{x}\,|x|.
Para trabalhar com mais simplicidade em intervalos onde x>0 ou x<0 posso escolher \mu(x)=x e^{x} (para x>0) ou \mu(x)=-x e^{x} (para x<0). Como constante multiplicativa pode ser absorvida no constante de integração, uso convenientemente \mu(x)=x e^{x} entendendo que a solução vale em intervalos onde x\neq0.

Passo 4

Multiplico a equação por \mu(x)=x e^{x} e escrevo como derivada:
Partindo da forma
\frac{dy}{dx} + \frac{x+1}{x}y = \frac{1}{x},
multiplicando por x e^{x}
x e^{x}\frac{dy}{dx} + x e^{x}\cdot\frac{x+1}{x}\,y = x e^{x}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando:
x e^{x}\frac{dy}{dx} + e^{x}(x+1)\,y = e^{x}.
Pelo cálculo do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada:
\frac{d}{dx}\big(x e^{x}\,y\big) = e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(x e^{x}\,y\big) = e^{x} \quad\Longrightarrow\quad x e^{x}\,y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.
Agora isolo y:
y(x) = \frac{e^{x} + C}{x e^{x}} = \frac{1}{x} + \frac{C}{x e^{x}}.

Passo 6

Interpretação, domínio e formas equivalentes.
  • A expressão encontrada é
y(x)=\frac{1}{x} + \frac{C}{x e^{x}},\qquad C\in\mathbb{R},
válida para x\neq0. Essa é a família geral de soluções definida em qualquer intervalo que não contenha x=0 (por exemplo x>0 ou x<0).
  • Podemos também escrever a solução como
y(x)=\frac{e^{x}+C}{x e^{x}}.

Passo 7

Verificações rápidas e nota sobre x=0.
  • Verificação para C=0: y(x)=\dfrac{1}{x}. Calculo rápido:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^{2}},\quad x\frac{dy}{dx}+xy = x\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)+x\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x}+1,
e
1-y = 1 - \frac{1}{x},
portanto satisfaz a EDO.
  • A EDO original, avaliada em x=0, reduz-se a 0 = 1 - y(0), que exige y(0)=1. A solução geral acima tende para um valor finito quando x\to0 somente se escolhermos C=-1. De fato, para C=-1:
y(x)=\frac{e^{x}-1}{x e^{x}},
e \lim_{x\to0} y(x)=1, permitindo estender continuamente a solução para x=0 definindo y(0)=1. Mesmo assim, como a EDO é singular em x=0, a derivada em 0 não é determinada pela forma diferencial original; portanto a solução estendida é uma continuação particular, não a consequência direta do método padrão em x=0.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{x}+\frac{C}{x e^{x}},\quad C\in\mathbb{R},\quad x\neq0

Exercícios relacionados