Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
y+\left(2 x-y e^{y}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma família de soluções para a EDO dada.
O enunciado fornece a equação
y+\left(2x-ye^{y}\right)y'=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita como uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Queremos achar todas as soluções (família com constante arbitrária), incluindo possíveis soluções constantes especiais.

Passo 2

Reescrevendo a EDO na forma diferencial padrão:
y+\left(2x-ye^{y}\right)y'=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y\,dx+\bigl(2x-ye^{y}\bigr)\,dy=0.
Aqui definimos M(x,y)=y e N(x,y)=2x-ye^{y}.
Agora verificamos se a equação é exata. A condição de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2.
Como 1\neq2, a forma não é exata. Então precisamos procurar um fator integrante.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa apenas de y, isto é, \mu=\mu(y). A condição prática para existir \mu(y) é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
seja função apenas de y. Calculamos:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2-1}{y}=\frac{1}{y},
que depende apenas de y (desde que y\neq0). Portanto existe \mu(y) e
\frac{d\ln\mu}{dy}=\frac{1}{y}\quad\Longrightarrow\quad \ln\mu=\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C.
Tomando a constante multiplicativa absorvida, escolhemos \mu(y)=y (para y\neq0). Observação: mais adiante vamos checar a possibilidade y\equiv0 separadamente.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(y)=y. Obtemos a forma equivalente
y\cdot y\,dx+y\bigl(2x-ye^{y}\bigr)\,dy=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}\,dx+\bigl(2xy-y^{2}e^{y}\bigr)\,dy=0.
Denotando agora \widetilde M(x,y)=y^{2} e \widetilde N(x,y)=2xy-y^{2}e^{y}, verificamos exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=2y, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=2y,
logo a forma é exata. Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde M=y^{2}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde N=2xy-y^{2}e^{y}.

Passo 5

Integramos \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int y^{2}\,dx=xy^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Calculamos então \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2xy+h'(y) \stackrel{!}{=}2xy-y^{2}e^{y}.
Da igualdade segue
h'(y)=-y^{2}e^{y}.

Passo 6

Integramos h'(y). Precisamos calcular
h(y)=\int -y^{2}e^{y}\,dy = -\int y^{2}e^{y}\,dy.
Fazemos a integral \int y^{2}e^{y}\,dy por partes (duas vezes):
  • Primeira integração por partes: tomar u=y^{2}, dv=e^{y}dy. Então du=2y\,dy, v=e^{y}. Assim
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y}-\int 2y e^{y}\,dy.
  • Segunda integração por partes em \int y e^{y}\,dy: tomar u=y, dv=e^{y}dy. Então du=dy, v=e^{y}. Logo
\int y e^{y}\,dy = y e^{y}-\int e^{y}\,dy = y e^{y}-e^{y}.
Voltando,
\int 2y e^{y}\,dy = 2\bigl( y e^{y}-e^{y}\bigr)=2y e^{y}-2e^{y}.
Portanto
\int y^{2}e^{y}\,dy = y^{2}e^{y} - \bigl(2y e^{y}-2e^{y}\bigr) = e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr).
Com o sinal negativo,
h(y)=-e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C,
onde C é constante.

Passo 7

Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=xy^{2}-e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)+C,
e a solução geral implícita (família de curvas integrais) é
xy^{2}-e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)=C',
onde C' é constante arbitrária real.
Agora tratamos o caso y\equiv0 (lembrando que no passo do fator integrante usamos divisão por y). Se y(x)\equiv0, a equação original fica 0+(2x-0\cdot e^{0})y'=0\Rightarrow 2x\,y'=0. Isso é satisfeito por y'\equiv0 para todo x, portanto y\equiv0 é solução. Substituindo y=0 na solução implícita obtém-se
x\cdot 0^{2}-e^{0}\bigl(0^{2}-2\cdot0+2\bigr)=-2,
isto é, corresponde à constante C'=-2. Logo a solução y\equiv0 já está contida na família implícita para C'=-2.

Resposta

xy^{2}-e^{y}\bigl(y^{2}-2y+2\bigr)=C', com C'\in\mathbb{R}.

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