Determine uma família de soluções para cada EDO abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar uma família de soluções para a EDO dada.
O enunciado fornece a equação
O enunciado fornece a equação
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser escrita como uma forma diferencial
. - Queremos achar todas as soluções (família com constante arbitrária), incluindo possíveis soluções constantes especiais.
Passo 2
Reescrevendo a EDO na forma diferencial padrão:
Aqui definimos
e
.
Agora verificamos se a equação é exata. A condição de exatidão é
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a forma não é exata. Então precisamos procurar um fator integrante.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa apenas de
, isto é,
. A condição prática para existir
é que
seja função apenas de
. Calculamos:
que depende apenas de
(desde que
). Portanto existe
e
Tomando a constante multiplicativa absorvida, escolhemos
(para
). Observação: mais adiante vamos checar a possibilidade
separadamente.
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. Obtemos a forma equivalente
Denotando agora
e
, verificamos exatidão:
logo a forma é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
Passo 5
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função a determinar. Calculamos então
e igualamos a
:
Da igualdade segue
Passo 6
Integramos
. Precisamos calcular
Fazemos a integral
por partes (duas vezes):
- Primeira integração por partes: tomar
, . Então , . Assim
- Segunda integração por partes em
: tomar , . Então , . Logo
Voltando,
Portanto
Com o sinal negativo,
onde
é constante.
Passo 7
Assim a função potencial é
e a solução geral implícita (família de curvas integrais) é
onde
é constante arbitrária real.
Agora tratamos o caso
(lembrando que no passo do fator integrante usamos divisão por
). Se
, a equação original fica
. Isso é satisfeito por
para todo
, portanto
é solução. Substituindo
na solução implícita obtém-se
isto é, corresponde à constante
. Logo a solução
já está contida na família implícita para
.