Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} 3 / n^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{4}} é convergente ou divergente usando o teste da integral.
Informações dadas:
  • A série é a soma dos termos a_n=\dfrac{3}{n^{4}} para n=1,2,\dots.
  • Precisamos aplicar o teste da integral para decidir convergência.

Passo 2

O que é o teste da integral e quando podemos usá‑lo (aula rápida e prática).
  • Seja f(x) uma função tal que f(x) é contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [1,\infty).
  • Se a_n=f(n) para todo n\ge1, então:
    • Se \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.
    • Se \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge.
      Explicação breve do porquê (intuição): para funções positivas decrescentes, a soma das áreas dos retângulos de base 1 e altura f(n) fica entre integrais próximas; por isso o comportamento da integral e da série coincide.

Passo 3

Definir a função apropriada para aplicar o teste.
Tomamos f(x)=\dfrac{3}{x^{4}}. Verificações necessárias:
  • Continuidade: \dfrac{3}{x^{4}} é contínua para x\ge1 (polinômio no denominador sem zeros nessa região).
  • Positividade: para x\ge1, f(x)>0.
  • Monotonicidade decrescente: calcular a derivada e checar sinal. f'(x)=\frac{d}{dx}\left(3x^{-4}\right)=3\cdot(-4)x^{-5}=-12x^{-5}.Para x\ge1 tem-se f'(x)=-12x^{-5}<0, logo f é decrescente.
    Portanto todas as condições do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{4}}\,dx.
Primeiro encontramos a antiderivada:
\int 3x^{-4}\,dx = 3\cdot\int x^{-4}\,dx = 3\cdot\left(\frac{x^{-3}}{-3}\right) = -x^{-3} = -\frac{1}{x^{3}}.
Agora avaliamos o integral impróprio:
\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{4}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} \frac{3}{x^{4}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x^{3}}\right]_{1}^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{1^{3}}\right).
Como \displaystyle \lim_{b\to\infty}\frac{1}{b^{3}}=0, obtemos
\int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{4}}\,dx = 1,
que é finito, portanto a integral converge.

Passo 5

Aplicar a conclusão do teste da integral.
Como f(x)=\dfrac{3}{x^{4}} satisfaz as hipóteses do teste e \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (vale 1), pelo teste da integral a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{4}} também converge.
Observação útil (rápida): este resultado também pode ser reconhecido como caso de uma série p-série \sum \dfrac{1}{n^{p}} com p=4>1; toda p-série com p>1 converge, e \displaystyle \sum \dfrac{3}{n^{4}}=3\sum \dfrac{1}{n^{4}} converge por multiplicação por constante.

Resposta

A série converge.

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