Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A série é a soma dos termos
para . - Precisamos aplicar o teste da integral para decidir convergência.
Passo 2
O que é o teste da integral e quando podemos usá‑lo (aula rápida e prática).
- Seja
uma função tal que é contínua, positiva e monotonicamente decrescente em . - Se
para todo , então: - Se
converge, então converge. - Se
diverge, então diverge.
Explicação breve do porquê (intuição): para funções positivas decrescentes, a soma das áreas dos retângulos de base 1 e alturafica entre integrais próximas; por isso o comportamento da integral e da série coincide.
- Se
Passo 3
Definir a função apropriada para aplicar o teste.
Tomamos . Verificações necessárias:
Tomamos
- Continuidade:
é contínua para (polinômio no denominador sem zeros nessa região). - Positividade: para
, . - Monotonicidade decrescente: calcular a derivada e checar sinal.
Para tem-se , logo é decrescente.
Portanto todas as condições do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
.
Primeiro encontramos a antiderivada:
Primeiro encontramos a antiderivada:
Agora avaliamos o integral impróprio:
Como
, obtemos
que é finito, portanto a integral converge.
Passo 5
Aplicar a conclusão do teste da integral.
Como satisfaz as hipóteses do teste e
converge (vale
), pelo teste da integral a série
também converge.
Como
Observação útil (rápida): este resultado também pode ser reconhecido como caso de uma série
-série
com
; toda
-série com
converge, e
converge por multiplicação por constante.
Resposta
A série converge.