Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} 1 / \sqrt[4]{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • A série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}.
  • Podemos reescrever o termo geral como \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{1/4}}=n^{-1/4}.
    O objetivo é aplicar o teste da integral (integral test) e decidir o comportamento da série.

Passo 2

Enunciado e explicação do teste da integral (a “aula rápida” sobre o teste):
  • Seja f:(1,\infty)\to\mathbb{R} uma função tal que f seja positiva, contínua e decrescente em [1,\infty).
  • Se a_n=f(n) para todo n\ge1, então as duas afirmações são equivalentes:
    1. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.
    2. \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge.
  • Em palavras: a série e a integral imprópria têm o mesmo comportamento de convergência; se a integral converge, a série converge; se a integral diverge, a série diverge.
    Observação sobre a regra de integração que será usada: para uma potência x^{k} com k\neq-1,
\int x^{k}\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C,
porque ao derivar \dfrac{x^{k+1}}{k+1} volta-se para x^{k}.

Passo 3

Escolher f(x) e verificar as hipóteses do teste:
  • Tome \displaystyle f(x)=x^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{x}} para x\ge1.
  • f(x)>0 para x\ge1, e f é contínua em [1,\infty) (é uma potência com expoente real).
  • Derivada para checar que é decrescente: f'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1/4}=-\frac{1}{4}x^{-5/4}.Para x\ge1 tem-se f'(x)<0, portanto f é decrescente em [1,\infty).
  • Conclusão desta etapa: as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas e podemos aplicar o teste a f(x).

Passo 4

Calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} x^{-1/4}\,dx:
  • Usando a fórmula para potências com k=-\tfrac{1}{4} temos k+1=\tfrac{3}{4}\neq0. Logo um antiderivado é \int x^{-1/4}\,dx=\frac{x^{3/4}}{3/4}=\frac{4}{3}x^{3/4}+C.
  • Avaliando o integral impróprio: \int_{1}^{\infty} x^{-1/4}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} x^{-1/4}\,dx =\lim_{b\to\infty}\left[\frac{4}{3}x^{3/4}\right]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\left(\frac{4}{3}b^{3/4}-\frac{4}{3}\right).
  • Como b^{3/4}\to\infty quando b\to\infty, o limite é infinito; portanto \int_{1}^{\infty} x^{-1/4}\,dx=+\infty,ou seja, a integral diverge.

Passo 5

Aplicando o teste da integral: como a função f associada à série satisfaz as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n tem o mesmo comportamento de divergência.

Resposta

Divergente

Exercícios relacionados