Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral para decidir se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- A série é
. - Podemos reescrever o termo geral como
.
O objetivo é aplicar o teste da integral (integral test) e decidir o comportamento da série.
Passo 2
Enunciado e explicação do teste da integral (a “aula rápida” sobre o teste):
- Seja
uma função tal que seja positiva, contínua e decrescente em . - Se
para todo , então as duas afirmações são equivalentes: -
converge. -
converge.
-
- Em palavras: a série e a integral imprópria têm o mesmo comportamento de convergência; se a integral converge, a série converge; se a integral diverge, a série diverge.
Observação sobre a regra de integração que será usada: para uma potênciacom ,
porque ao derivar
volta-se para
.
Passo 3
Escolher
e verificar as hipóteses do teste:
- Tome
para . -
para , e é contínua em (é uma potência com expoente real). - Derivada para checar que é decrescente:
Para tem-se , portanto é decrescente em . - Conclusão desta etapa: as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas e podemos aplicar o teste a
.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
:
- Usando a fórmula para potências com
temos . Logo um antiderivado é - Avaliando o integral impróprio:
- Como
quando , o limite é infinito; portanto ou seja, a integral diverge.
Passo 5
Aplicando o teste da integral: como a função
associada à série satisfaz as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e a integral imprópria
diverge, a série
tem o mesmo comportamento de divergência.
Resposta
Divergente