Determine a fase das substâncias a seguir e encontre os valores das quantidades ausentes.
Nitrogênio: P=2000 \mathrm{kPa}, 120 \mathrm{~K}, v= ?, Z= ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados para o nitrogênio:
  • P=2000\\ \mathrm{kPa}.
  • T=120\\ \mathrm{K}.
  • Pedem-se v (volume específico) e Z (fator de compressibilidade), e a fase da substância.
Informações úteis que vamos usar (constantes físicas e propriedades críticas que são padrão para N _2, usadas em tabelas/EOs):
  • Temperatura crítica: T_c=126{,}2\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica: P_c=3390\\ \mathrm{kPa}.
  • Massa molar: M=28{,}0134\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • Constante universal dos gases: R_u=8{,}314462\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kmol\cdot K)}.
  • Fator acêntrico (nitrogênio): \omega \approx 0{,}0372.
O que o problema pede exatamente:
  • Determinar a fase (sólido/liquido/vapor/duas fases) nas condições dadas.
  • Calcular o volume específico v (em \mathrm{m^3/kg}) e o fator de compressibilidade Z.

Passo 2

Decisão do método e por quê (explicação didática e escolha):
  • Observação importante: T=120\\ \mathrm{K} está um pouco abaixo de T_c. Em regiões próximas da crítica e a pressões elevadas, o comportamento do nitrogênio desvia-se do ideal. Portanto, usar a lei do gás ideal ( Pv=RT) pode induzir erro significativo.
  • Para tratar o comportamento real vamos usar uma equação de estado cúbica confiável e relativamente simples para aplicações de engenharia: a equação de Peng–Robinson (PR). Ela é apropriada porque captura efeitos de atração/repulsão intermolecular e é bastante usada para cálculo de Z e volumes em condições próximas da fase crítica.
  • Vou explicar a PR passo a passo e calcular Z resolvendo a cúbica que ela gera. Em seguida converto o volume molar para volume específico.
Breve aula sobre a Peng–Robinson (síntese):
  • A forma cúbica da PR pode ser trabalhada no formato com as grandezas adimensionais A=\frac{aP}{R_u^2 T^2},\qquad B=\frac{bP}{R_u T},onde a e b são parâmetros dependentes de T_c,P_c,\omega e T.
  • A cúbica em Z (fator de compressibilidade) para PR é Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0.
  • Se obtivermos a (ou as) raízes reais positivas dessa cúbica, o Z corresponde ao volume molar via v_m=\frac{Z R_u T}{P},e o volume específico v (m^3/kg) é v=v_m/M.

Passo 3

Cálculo dos parâmetros da Peng–Robinson (passo a passo com números):
  1. Calcular kappa e \alpha(T):
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2.
Substituindo \omega=0{,}0372:
\kappa \approx 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}0372) - 0{,}26992(0{,}0372)^2 \approx 0{,}4316.
\alpha=\bigl[1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr]^2.
Calcule T/T_c=120/126{,}2\approx0{,}95098, \sqrt{T/T_c}\approx0{,}97517, então
\alpha \approx \bigl[1+0{,}4316(1-0{,}97517)\bigr]^2 \approx 1{,}02156.
  1. Calcular a e b (unidades: a em \mathrm{kPa\cdot (m^3/kmol)^2}, b em \mathrm{m^3/kmol}):
a=0{,}45724\frac{R_u^2 T_c^2}{P_c}\,\alpha, \qquad b=0{,}07780\frac{R_u T_c}{P_c}.
Substituindo valores:
a\approx 0{,}45724\frac{(8{,}314462)^2(126{,}2)^2}{3390}\cdot 1{,}02156 \approx 151{,}8.
b\approx 0{,}07780\frac{8{,}314462\cdot126{,}2}{3390} \approx 0{,}02408.
(Obs.: os números acima foram arredondados de forma consistente, mantendo precisão suficiente para engenharia.)

Passo 4

Calcular A e B da forma adimensional e montar a cúbica de Z:
A=\frac{aP}{R_u^2 T^2},\qquad B=\frac{bP}{R_u T}.
Com P=2000\\ \mathrm{kPa} e T=120\\ \mathrm{K}:
  • Calculei A\approx 0{,}3050.
  • Calculei B\approx 0{,}04826.
Substituindo na cúbica de PR:
Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0,
com os coeficientes numéricos:
Z^3-0{,}95174\,Z^2+0{,}20149\,Z-0{,}012279\approx 0.

Passo 5

Resolver numericamente a cúbica para Z (explicação de como encontrar a raiz):
  • A cúbica pode ter até três raízes reais; cada raiz física corresponde a um possível estado (raiz pequena → líquido comprimido; raiz grande → vapor; raiz intermediária → instável). Aqui faço busca numérica simples por tentativa/fechamento para obter a raiz real de interesse.
  • Avaliando a função no intervalo típico de Z positivos observei mudança de sinal entre Z\approx0{,}68 e Z\approx0{,}70, indicando uma raiz ali.
  • Refinando por interpolação/iteração, obtive a raiz real positiva:
Z \approx 0{,}689.
(Nota didática: em prova pode-se usar método de Newton ou tabela de valores para achar a raiz. O importante é mostrar que a cúbica foi montada e uma raiz real foi encontrada numericamente.)

Passo 6

Converter Z em volume molar e em volume específico:
  • Volume molar:
v_m=\frac{Z R_u T}{P}.
Substituindo:
v_m \approx \frac{0{,}689\cdot 8{,}314462\cdot 120}{2000}\approx 0{,}3435\\ \mathrm{m^3/kmol}.
  • Volume específico (m^3/kg):
v=\frac{v_m}{M}=\frac{0{,}3435}{28{,}0134}\approx 0{,}01226\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 7

Determinar a fase — interpretação física e justificativa:
  • Resultado do cálculo realístico (PR) deu uma única raiz real de Z positiva com valor Z\approx0{,}689. Esse valor de Z (menor que 1, mas da ordem de 0{,}6\!-\!0{,}8) e o volume específico v\approx0{,}01226\\ \mathrm{m^3/kg} são compatíveis com nitrogênio na fase gasosa (não condensada) sob compressão — ou seja, gás real (poderíamos chamar de gás comprimido ou gás denso), não líquido.
  • Outro modo de pensar: para decidir líquido vs vapor em T<T_c normalmente comparamos P com a pressão de saturação P_{sat}(T). Se P>P_{sat} há líquido/duas fases; se P<P_{sat} é vapor. Aqui, usando a PR e encontrando uma única raiz de Z correspondente a um volume relativamente grande (maior que o volume crítico específico), concluímos que as condições representam nitrogênio na fase vapor (gás denso), ou seja, P está abaixo da pressão de saturação a T=120\\ \mathrm{K}.
  • Observação honesta: uma verificação adicional com tabelas de propriedades (ou solução de equilíbrio vapor–líquido com a mesma EOS) confirmaria se P está abaixo de P_{sat}. A abordagem com PR já é uma estimativa robusta para provas de termodinâmica de engenharia.

Resposta

Fase: vapor (gás denso)
v=0,01226\\ \mathrm{m^3/kg}
Z=0,689

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