Determine a fase das substâncias a seguir e encontre os valores das quantidades ausentes.
Nitrogênio:
?,
?
Nitrogênio:
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados para o nitrogênio:
-
. -
. - Pedem-se
(volume específico) e (fator de compressibilidade), e a fase da substância.
Informações úteis que vamos usar (constantes físicas e propriedades críticas que são padrão para N
, usadas em tabelas/EOs):
- Temperatura crítica:
. - Pressão crítica:
. - Massa molar:
. - Constante universal dos gases:
. - Fator acêntrico (nitrogênio):
.
O que o problema pede exatamente:
- Determinar a fase (sólido/liquido/vapor/duas fases) nas condições dadas.
- Calcular o volume específico
(em ) e o fator de compressibilidade .
Passo 2
Decisão do método e por quê (explicação didática e escolha):
- Observação importante:
está um pouco abaixo de . Em regiões próximas da crítica e a pressões elevadas, o comportamento do nitrogênio desvia-se do ideal. Portanto, usar a lei do gás ideal ( ) pode induzir erro significativo. - Para tratar o comportamento real vamos usar uma equação de estado cúbica confiável e relativamente simples para aplicações de engenharia: a equação de Peng–Robinson (PR). Ela é apropriada porque captura efeitos de atração/repulsão intermolecular e é bastante usada para cálculo de
e volumes em condições próximas da fase crítica. - Vou explicar a PR passo a passo e calcular
resolvendo a cúbica que ela gera. Em seguida converto o volume molar para volume específico.
Breve aula sobre a Peng–Robinson (síntese):
- A forma cúbica da PR pode ser trabalhada no formato com as grandezas adimensionais
onde e são parâmetros dependentes de e . - A cúbica em
(fator de compressibilidade) para PR é - Se obtivermos a (ou as) raízes reais positivas dessa cúbica, o
corresponde ao volume molar via e o volume específico (m^3/kg) é .
Passo 3
Cálculo dos parâmetros da Peng–Robinson (passo a passo com números):
- Calcular
e :
Substituindo
:
Calcule
,
, então
- Calcular
e (unidades: em , em ):
Substituindo valores:
(Obs.: os números acima foram arredondados de forma consistente, mantendo precisão suficiente para engenharia.)
Passo 4
Calcular
e
da forma adimensional e montar a cúbica de
:
Com
e
:
- Calculei
. - Calculei
.
Substituindo na cúbica de PR:
com os coeficientes numéricos:
Passo 5
Resolver numericamente a cúbica para
(explicação de como encontrar a raiz):
- A cúbica pode ter até três raízes reais; cada raiz física corresponde a um possível estado (raiz pequena → líquido comprimido; raiz grande → vapor; raiz intermediária → instável). Aqui faço busca numérica simples por tentativa/fechamento para obter a raiz real de interesse.
- Avaliando a função no intervalo típico de
positivos observei mudança de sinal entre e , indicando uma raiz ali. - Refinando por interpolação/iteração, obtive a raiz real positiva:
(Nota didática: em prova pode-se usar método de Newton ou tabela de valores para achar a raiz. O importante é mostrar que a cúbica foi montada e uma raiz real foi encontrada numericamente.)
Passo 6
Converter
em volume molar e em volume específico:
- Volume molar:
Substituindo:
- Volume específico (m^3/kg):
Passo 7
Determinar a fase — interpretação física e justificativa:
- Resultado do cálculo realístico (PR) deu uma única raiz real de
positiva com valor . Esse valor de (menor que 1, mas da ordem de ) e o volume específico são compatíveis com nitrogênio na fase gasosa (não condensada) sob compressão — ou seja, gás real (poderíamos chamar de gás comprimido ou gás denso), não líquido. - Outro modo de pensar: para decidir líquido vs vapor em
normalmente comparamos com a pressão de saturação . Se há líquido/duas fases; se é vapor. Aqui, usando a PR e encontrando uma única raiz de correspondente a um volume relativamente grande (maior que o volume crítico específico), concluímos que as condições representam nitrogênio na fase vapor (gás denso), ou seja, está abaixo da pressão de saturação a . - Observação honesta: uma verificação adicional com tabelas de propriedades (ou solução de equilíbrio vapor–líquido com a mesma EOS) confirmaria se
está abaixo de . A abordagem com PR já é uma estimativa robusta para provas de termodinâmica de engenharia.
Resposta
Fase: vapor (gás denso)