Considere dois condutores cilíndricos alimentando um arranjo de lâmpadas a partir de uma tensão de 120 V . Os condutores de 2 km de comprimento são de cobre e possuem um raio de 2 cm . Admitindo que os condutores são submetidos a uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C} e que a resistência de cada lêmpada é 3 \Omega, determine: (a) a corrente total fornecida pela fonte; (b) a diferença de potencial entre as extremidades de cada condutor cilíndrico; (c) a corrente que circula por cada lâmpada e a potência consumida por cada lâmpada (d) a potência total consumida pelas lâmpadas; (e) o custo da energia consumida pelas lâmpadas para uma utilização de 5 horas por dia, durante 20 dias. Considere que o custo do kWh é \mathrm{R} \ 0,12 . Dados do cobre a20{ }^{\circ} \mathrm{C} : Resistividade do cobre=\rho_{0}=1,7 \times 10^{-8} \Omega \mathrm{~m}$; Coeficiente
de temperatura do cobre =\alpha=3,9 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Resposta: (a) I=95,2 \mathrm{~A}; (b) V=2,86 \mathrm{~V}; (c) I_{1}=38,1 \mathrm{~A} ; I_{2}=38,1 \mathrm{~A} ; I_{3}=19,1 \mathrm{~A}; I_{4}=19,1 \mathrm{~A} ; P_{1}=4355 \mathrm{~J} / \mathrm{s} ; P_{2}=4355 \mathrm{~J} / \mathrm{s}; P_{3}=1094 \mathrm{~J} / \mathrm{s} ; P_{4}=1094 \mathrm{~J} / \mathrm{s}; (d) P=10898 \mathrm{~J} / \mathrm{s}; (e) Custo =131 \mathrm{R} \$.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) a corrente total fornecida pela fonte;
  • (b) a diferença de potencial entre as extremidades de cada condutor cilíndrico (queda de tensão em cada condutor);
  • (c) a corrente que circula por cada lâmpada e a potência consumida por cada lâmpada;
  • (d) a potência total consumida pelas lâmpadas;
  • (e) o custo da energia consumida pelas lâmpadas para uso de 5 horas/dia durante 20 dias, com tarifa 0,12\\ \mathrm{R}\$ por kWh.
Todas as informações relevantes dadas (peguei algumas destas informações da imagem enviada):
  • Tensão da fonte: 120\\ \mathrm{V}.
  • Cada condutor cilíndrico tem comprimento L=2\\ \mathrm{km}=2000\\ \mathrm{m} (valor retirado da imagem).
  • Raio de cada condutor: r=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m} (valor retirado da imagem).
  • Temperatura dos condutores: T=50{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Resistência de cada lâmpada: R_{\ell}=3\\ \Omega.
  • Configuração das lâmpadas (retirada da imagem): há três ramos em paralelo: ramo 1 com L_1 (uma lâmpada), ramo 2 com L_2 (uma lâmpada) e ramo 3 com L_3 em série com L_4 (duas lâmpadas em série).
  • Dados do cobre a 20{ }^\circ\mathrm{C}: resistividade \rho_0=1,7\times10^{-8}\\ \Omega\mathrm{m}; coeficiente de temperatura \alpha=3,9\times10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Tarifa: 0{,}12\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{kWh}.
    Observação: não inicio resolução aqui; apenas organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo físico-matemático: ajustar a resistividade do cobre para T=50{ }^\circ\mathrm{C}.
Fórmula (explicando as variáveis):
\rho=\rho_0\bigl[1+\alpha (T-T_0)\bigr]
onde \rho é a resistividade na temperatura T, \rho_0 é a resistividade à referência T_0 (aqui T_0=20{ }^\circ\mathrm{C}), e \alpha é o coeficiente de temperatura.
Aplicando os valores:
\rho=1,7\times10^{-8}\bigl[1+3,9\times10^{-3}\cdot(50-20)\bigr]\\ \Omega\mathrm{m}.
Cálculo:
1+3,9\times10^{-3}\cdot30 = 1+0,117 = 1,117,
\rho=1,7\times10^{-8}\cdot1,117 = 1,8989\times10^{-8}\\ \Omega\mathrm{m}\approx 1,90\times10^{-8}\\ \Omega\mathrm{m}.

Passo 3

Agora calculo da resistência de um condutor cilíndrico.
Fórmula da resistência elétrica de um fio uniforme:
R=\frac{\rho L}{A},
onde R é a resistência, \rho a resistividade, L o comprimento e A a área da secção transversal.
Área da secção transversal (círculo):
A=\pi r^2=\pi(0,02)^2=\pi\cdot0,0004\\ \mathrm{m}^2\approx 1,2566\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
Substituindo:
R_{\text{cond}}=\frac{1,8989\times10^{-8}\cdot2000}{1,2566\times10^{-3}}\\ \Omega.
Cálculo:
R_{\text{cond}}\approx0,03024\\ \Omega \quad(\text{resistência de cada condutor de }2\\ \text{km}).ê

Passo 4

A resistência total dos condutores do circuito (ida + volta) é a soma das resistências dos dois condutores, pois a corrente percorre ambos em série:
R_{\text{fios}}=2R_{\text{cond}}=2\cdot0,03024\\ \Omega=0,06048\\ \Omega.

Passo 5

Equivalente das lâmpadas (a carga):
Descrição dos ramos (peguei a configuração da imagem):
  • Ramo A: L_1 com R_{\ell}=3\\ \Omega.
  • Ramo B: L_2 com R_{\ell}=3\\ \Omega.
  • Ramo C: L_3 e L_4 em série, resistência total R_{\ell3+4}=3+3=6\\ \Omega.
Equivalente em paralelo: para resistores em paralelo vale
\frac{1}{R_{\text{carga}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}.
Aqui:
\frac{1}{R_{\text{carga}}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6},
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R_{\text{carga}}=\frac{6}{5}=1,2\\ \Omega.

Passo 6

Resistência total do circuito vista pela fonte:
R_{\text{total}}=R_{\text{fios}}+R_{\text{carga}}=0,06048+1,2=1,26048\\ \Omega.

Passo 7

Corrente total fornecida pela fonte (Lei de Ohm):
I_{\text{total}}=\frac{V_{\text{fonte}}}{R_{\text{total}}}=\frac{120}{1,26048}\\ \mathrm{A}.
Cálculo:
I_{\text{total}}\approx95,24\\ \mathrm{A}\approx95,2\\ \mathrm{A}.
(Este responde a parte (a).)

Passo 8

Queda de tensão em cada condutor (parte (b)).
Queda em um condutor:
V_{\text{cond}}=I_{\text{total}}\;R_{\text{cond}}.
Substituindo:
V_{\text{cond}}=95,24\cdot0,03024\\ \mathrm{V}\approx2,88\\ \mathrm{V}.
(Observação: a queda total nos dois condutores é 2V_{\text{cond}}\approx5,76\\ \mathrm{V}; a parte (b) pede a diferença de potencial entre as extremidades de cada condutor, ou seja, a queda em um condutor.)

Passo 9

Tensão disponível nos terminais da carga (voltagem nos ramos das lâmpadas):
V_{\text{carga}}=V_{\text{fonte}}-I_{\text{total}}R_{\text{fios}}.
Ou equivalentemente V_{\text{carga}}=I_{\text{total}}R_{\text{carga}}. Calculando:
V_{\text{carga}}=120-95,24\cdot0,06048\\ \mathrm{V}\approx120-5,76\\ \mathrm{V}=114,24\\ \mathrm{V}.

Passo 10

Corrente em cada lâmpada (parte (c)):
  • Para L_1 (ramo com uma lâmpada de 3\\ \Omega):
I_1=\frac{V_{\text{carga}}}{3}=\frac{114,24}{3}\\ \mathrm{A}\approx38,08\\ \mathrm{A}\approx38,1\\ \mathrm{A}.
  • Para L_2 (mesmo que L_1):
I_2=I_1\approx38,1\\ \mathrm{A}.
  • Para o ramo com L_3 e L_4 em série (resistência total 6\\ \Omega):
I_{3,4}=\frac{V_{\text{carga}}}{6}=\frac{114,24}{6}\\ \mathrm{A}\approx19,04\\ \mathrm{A}\approx19,0\\ \mathrm{A}.
Assim I_3=I_4=I_{3,4}\approx19,0\\ \mathrm{A}.

Passo 11

Potência consumida por cada lâmpada (parte (c) continuação):
Usando P=I^2R (explicando: potência é a taxa de energia, medida em watts \mathrm{W}=\mathrm{J}/\mathrm{s}).
  • L_1 e L_2:
P_1=P_2=I_1^2\cdot R_{\ell}=(38,08)^2\cdot3\\ \mathrm{W}\approx4350\\ \mathrm{W}.
  • L_3 e L_4 (cada uma tem R_{\ell}=3\\ \Omega e corrente 19,04\\ \mathrm{A}):
P_3=P_4=(19,04)^2\cdot3\\ \mathrm{W}\approx1088\\ \mathrm{W}.
(Arredondamentos: apresento valores com três algarismos significativos.)

Passo 12

Potência total consumida pelas lâmpadas (parte (d)):
Somando:
P_{\text{total}}=P_1+P_2+P_3+P_4\approx 2\cdot4350 + 2\cdot1088 \\ \mathrm{W}\approx10876\\ \mathrm{W}\approx1{,}09\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
(aprox. 1{,}09\times10^{4}\\ \mathrm{W} ou 10876\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}.)

Passo 13

Energia consumida e custo (parte (e)):
Tempo de uso total:
t=5\\ \text{h/dia}\times20\\ \text{dias}=100\\ \text{h}.
Energia em kWh:
E_{\text{kWh}}=\frac{P_{\text{total}}(\mathrm{W})\cdot t(\mathrm{h})}{1000}\approx\frac{10876\cdot100}{1000}\\ \mathrm{kWh}\approx1087{,}6\\ \mathrm{kWh}.
Custo:
\text{Custo}=E_{\text{kWh}}\times0{,}12\\ \mathrm{R}\$/\mathrm{kWh}\approx1087{,}6\cdot0{,}12\\ \mathrm{R}\$\approx130{,}51\\ \mathrm{R}\$.
Arredondando, custo \approx131\\ \mathrm{R}\$.

Resposta

(a) I_{\text{total}}=95{,}2\\ \mathrm{A}
(b) V_{\text{condutor}}=2{,}88\\ \mathrm{V}
(c) I_1=38{,}1\\ \mathrm{A};\\ I_2=38{,}1\\ \mathrm{A};\\ I_3=19{,}0\\ \mathrm{A};\\ I_4=19{,}0\\ \mathrm{A}.
P_1=4350\\ \mathrm{J}/\mathrm{s};\\ P_2=4350\\ \mathrm{J}/\mathrm{s};\\ P_3=1088\\ \mathrm{J}/\mathrm{s};\\ P_4=1088\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}.
(d) P_{\text{total}}\approx10876\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}.
(e) Custo \approx131\\ \mathrm{R}\$.

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