*** Determine os fasores de tensão V1 e V2 usando o método dos nós.
  • Circuito: Fonte de tensão senoidal 10 \angle 0 \circ \mathrm{~V}, 1 \mathrm{kHz}, em série com \mathrm{R} 1=1 \mathrm{k} \Omega, ligado ao Nó 1 . Do Nó 1 , um capacitor \mathrm{C}=100 \mathrm{nF} vai para o terra e um indutor \mathrm{L}=200 \mathrm{mH} liga o Nó 1 ao Nó 2. Do Nó 2, um resistor \mathrm{R} 2=2 \mathrm{k} \Omega vai para o terra.
  • Resposta: \mathrm{V} 1=5.67 \angle-40.6 \circ \mathrm{~V}, \mathrm{~V} 2=4.0 \angle 22.4 \circ \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os fasores de tensão V_1 e V_2 usando método dos nós. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Fonte: }V_s=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},\quad f=1\\ \text{kHz} \\\ &R_1=1\\ \text{k}\Omega,\qquad R_2=2\\ \text{k}\Omega \\\ &L=200\\ \text{mH},\qquad C=100\\ \text{nF} \end{aligned}
Condições elétricas importantes que vou usar: as tensões pedidas são fasores (valores complexos em regime senoidal permanente). Não começo a resolver ainda — só anotei tudo o que o enunciado deu (fonte, frequência, valores de R, L, C e que devo usar método dos nós).

Passo 2

Vou transformar a frequência em pulsação e calcular as impedâncias do capacitor e do indutor (essa é a base do que chamamos “forma fasorial”): \omega = 2\pi f.
\omega = 2\pi\cdot 1000 = 6283{,}185307\\ \mathrm{rad/s}.
Impedâncias (em ohms):
\begin{aligned} &Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C},\\\ &Z_L = j\omega L. \end{aligned}
Agora calculemos numericamente C=100\\ \mathrm{nF}=100\times10^{-9}\\ \mathrm{F} e L=200\\ \mathrm{mH}=0{,}2\\ \mathrm{H}:
\begin{aligned} &Z_C = -j\frac{1}{6283{,}185307\cdot 100\times10^{-9}} = -j\,1591{,}5494309189535\\ \Omega,\\\ &Z_L = j(6283{,}185307\cdot 0{,}2) = j\,1256{,}6370614359173\\ \Omega. \end{aligned}
Explicação curta para a prova: a impedância do capacitor é puramente imaginária negativa (indica que corrente adianta a tensão), a do indutor é puramente imaginária positiva (corrente atrasa a tensão). Essas fórmulas são padrão e essenciais.

Passo 3

Defino as incógnitas (os nós do método dos nós):
\text{Nó 1: }V_1\quad\text{(tensão do nó logo após }R_1\text{)},\qquad \text{Nó 2: }V_2\quad\text{(tensão do nó entre }L\text{ e }R_2\text{).}óãóóóãó
A fonte V_s tem o terminal de referência no terra (0 V) e o terminal de arriba com 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}; R_1 liga esse terminal ao nó 1.

Passo 4

No método dos nós é mais prático usar admitâncias Y=1/Z. Calculo as admitâncias:
\begin{aligned} &G_1=\frac{1}{R_1}=\frac{1}{1000}=0{,}001\\ \mathrm{S},\\\ &G_2=\frac{1}{R_2}=\frac{1}{2000}=0{,}0005\\ \mathrm{S},\\\ &Y_C=\frac{1}{Z_C}=j\omega C = j\,0{,}0006283185307179586\\ \mathrm{S},\\\ &Y_L=\frac{1}{Z_L}=\frac{1}{j\omega L}=-j\frac{1}{\omega L}=-j\,0{,}0007957747154594815\\ \mathrm{S}. \end{aligned}
Comentário didático: admitância é o inverso da impedância e soma naturalmente nas conexões paralelas — isso facilita montar as equações nodais.

Passo 5

Escrevo a lei de correntes (KCL) no nó 1. Conto as correntes que saem de V_1: pela resistência R_1 em direção à fonte, pelo capacitor ao terra e pelo indutor em direção ao nó 2. A corrente pela resistência (do nó 1 para a fonte) é (V_1 - V_s)G_1. Pela capacitância é V_1 Y_C. Pelo indutor (do nó 1 para nó 2) é (V_1 - V_2)Y_L. Somando e igualando a zero:
G_1(V_1 - V_s) + Y_C V_1 + Y_L (V_1 - V_2) = 0.
Reorganizando para ter a forma padrão A_{11}V_1 + A_{12}V_2 = b_1:
(G_1 + Y_C + Y_L)\,V_1 + (-Y_L)\,V_2 = G_1 V_s.

Passo 6

Faço KCL no nó 2. As correntes saindo de V_2 são pela resistência R_2 para terra e pelo indutor de volta ao nó 1. Assim:
Y_L(V_2 - V_1) + G_2 V_2 = 0.
Reorganizando:
(-Y_L)\,V_1 + (Y_L + G_2)\,V_2 = 0.

Passo 7

Escrevo o sistema matricial com os coeficientes complexos (substituindo os valores numéricos calculados em Passo 4):
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\[4pt] A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_1\\[4pt]V_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1\\[4pt]0\end{pmatrix}
onde
\begin{aligned} &A_{11}=G_1+Y_C+Y_L=0{,}001 + j0{,}0006283185 - j0{,}0007957747 = 0{,}001 - j0{,}0001674562,\\\ &A_{12}=-Y_L = j0{,}0007957747,\\\ &A_{21}=-Y_L = j0{,}0007957747,\\\ &A_{22}=Y_L+G_2 = 0{,}0005 - j0{,}0007957747,\\\ &b_1=G_1 V_s = 0{,}001\cdot 10\angle 0^\circ = 0{,}01\\ \mathrm{V}\\ (\text{valor real}). \end{aligned}
Explicação prática: temos duas equações lineares complexas em V_1 e V_2.]

Passo 8

Resolver o sistema — uma maneira rápida é eliminar V_2 usando a segunda equação. Da equação do nó 2:
(Y_L+G_2)V_2 = Y_L V_1 \quad\Rightarrow\quad V_2 = \frac{Y_L}{Y_L+G_2}\,V_1.
Esse passo é útil porque transforma o sistema em uma equação escalar para V_1.

Passo 9

Substituo V_2 na equação do nó 1. A equação do nó 1 escrita como
(G_1+Y_C+Y_L)\,V_1 - Y_L V_2 = G_1 V_s
fica, ao substituir V_2,
\Big(G_1+Y_C+Y_L - \frac{Y_L^2}{Y_L+G_2}\Big)\,V_1 = G_1 V_s.
Defino a admitância equivalente no nó 1:
Y_{11,\text{eq}} = G_1+Y_C+Y_L - \frac{Y_L^2}{Y_L+G_2}.
Agora calculo numericamente cada termo (uso os números de Passo 4 com precisão suficiente):
\frac{Y_L}{Y_L+G_2} \approx 0{,}716614 - j\,0{,}4502929,
então
\frac{Y_L^2}{Y_L+G_2} \approx -0{,}000358262 - j\,0{,}000569885.
Logo
\begin{aligned} Y_{11,\text{eq}} &= 0{,}001 + j0{,}0006283185 + (-j0{,}0007957747) -\big(-0{,}000358262 - j0{,}000569885\big)\\[4pt] &= 0{,}001358262 + j0{,}0004024288. \end{aligned}
Agora V_1 é
V_1 = \frac{G_1 V_s}{Y_{11,\text{eq}}} = \frac{0{,}01}{0{,}001358262 + j0{,}0004024288}.
Faço a divisão complexa (ou converto em módulo e argumento). O módulo de Y_{11,\text{eq}} é
|Y_{11,\text{eq}}| = \sqrt{(0{,}001358262)^2 + (0{,}0004024288)^2} \approx 0{,}00141703,
e o argumento é \angle Y_{11,\text{eq}} \approx 16{,}47^\circ. Assim
|V_1| = \frac{0{,}01}{0{,}00141703} \approx 7{,}0586,\qquad \angle V_1 = -16{,}47^\circ.
Em forma fasorial:
V_1 \approx 7{,}06\angle -16{,}47^\circ\\ \mathrm{V}.
Observação didática: em prova você pode fazer a divisão complexa por conjugado ou converter denominador e numerador para forma polar e subtrair ângulos — os dois dão o mesmo resultado.]

Passo 10

Com V_1 conhecido, volto à relação do nó 2:
V_2 = \frac{Y_L}{Y_L+G_2}\,V_1,
onde já calculei a fração complexa:
\frac{Y_L}{Y_L+G_2} \approx 0{,}716614 - j\,0{,}4502929 = 0{,}84692\angle -32{,}402^\circ.
Multiplico em forma polar:
|V_2| = |V_1|\cdot 0{,}84692 \approx 7{,}0586\cdot 0{,}84692 \approx 5{,}979,
e o ângulo é -16{,}47^\circ + (-32{,}402^\circ) = -48{,}87^\circ. Portanto
V_2 \approx 5{,}98\angle -48{,}88^\circ\\ \mathrm{V}.
Dica de prova: multiplicar fasores é multiplicar módulos e somar ângulos — faça sempre verificação de sinais imaginários antes de converter.

Resposta

V_1 = 7{,}06\angle -16{,}47^\circ\\ \mathrm{V}
V_2 = 5{,}98\angle -48{,}88^\circ\\ \mathrm{V}

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