Determine o fator de amplificação para um sistema com rigidez de 3600 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, massa de 100 kg sob força harmônica de amplitude 100 N e frequência angular de 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s} nos seguintes casos:
a) c=0 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}
b) c=600 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}
c) Compare as duas respostas e descreva o quais os efeitos do amortecimento introduzido no sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força harmônica de amplitude F_0=100\\ \mathrm{N} e frequência angular \omega=20\\ \mathrm{rad/s}. A massa é m=100\\ \mathrm{kg} e a rigidez é k=3600\\ \mathrm{N/m}. Vamos calcular o fator de amplificação dinâmico
M(\omega)=\frac{X(\omega)}{X_{\mathrm{est}}}
onde X(\omega) é o deslocamento em regime permanente e X_{\mathrm{est}}=F_0/k é o deslocamento estático.

Passo 2

Primeiro determinamos a frequência natural e a razão de frequências:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{3600}{100}} = 6\\ \mathrm{rad/s},
r = \frac{\omega}{\omega_n} = \frac{20}{6} \approx 3{,}333.
O fator de amortecimento adimensional é
\zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_n}.

Passo 3

Caso sem amortecimento ( c=0). Temos \zeta=0 e a fórmula simplifica para
M(\omega)=\frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|}.
Como r^2\approx 11{,}111,
M_a = \frac{1}{|1 - 11{,}111|} = \frac{1}{10{,}111} \approx 0{,}0989.

Passo 4

Caso com amortecimento c=600\\ \mathrm{N\,s/m}. Calculamos
\zeta = \frac{600}{2\cdot100\cdot6} = 0{,}5,
e a expressão geral é
M(\omega) =\frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\,\zeta\,r)^2}} =\frac{1}{\sqrt{(-10{,}111)^2 + (2\cdot0{,}5\cdot3{,}333)^2}}.
Numericamente,
M_b = \frac{1}{\sqrt{102{,}229 + 11{,}111}} = \frac{1}{10{,}645} \approx 0{,}0939.

Passo 5

Comparando M_a\approx0{,}0989 e M_b\approx0{,}0939, vemos que o amortecimento reduz o fator de amplificação. Em particular:
  • Diminui ligeiramente a resposta em frequência alta.
  • Suaviza o pico de ressonância (não mostrado aqui porque \omega\gg\omega_n).
  • Introduz defasagem e dissipa energia, reduzindo amplitudes.

Resposta

a) M\approx0{,}0989
b) M\approx0{,}0939
c) O amortecimento reduz o pico de amplificação, limita amplitudes e dissipa energia, tornando o sistema mais estável em torno da ressonância.

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