As deformações principais em um ponto sobre a superfície de alumínio de um tanque são \varepsilon_{1}=Q \cdot 10^{-6}, \varepsilon_{2}=R \cdot 10^{-6}. Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. \mathrm{E}_{\mathrm{al}}=70 \mathrm{GPa}, \mathrm{V}_{\mathrm{al}}=0,33.
Q=560 \quad h=310

Passo 1

O enunciado nos dá as deformações principais em um ponto sobre a superfície de um tanque de alumínio, no caso de estado plano de tensão, sendo
\varepsilon_{1}=Q\cdot10^{-6} e \varepsilon_{2}=R\cdot10^{-6}, com Q=560 e R=310. Precisamos usar as equações de Hooke para plano de tensão em coordenadas principais para encontrar as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2}.

Passo 2

Em plano de tensão isotrópico, as relações de Hooke nas direções principais são
\varepsilon_{1}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{1}-\nu\,\sigma_{2}\bigr), \qquad \varepsilon_{2}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{2}-\nu\,\sigma_{1}\bigr),
onde E é o módulo de Young e \nu o coeficiente de Poisson.

Passo 3

Para isolar \sigma_{1} e \sigma_{2} resolvemos o sistema acima. As soluções são
\sigma_{1} =\frac{E}{1-\nu^{2}}\bigl(\varepsilon_{1}+\nu\,\varepsilon_{2}\bigr), \qquad \sigma_{2} =\frac{E}{1-\nu^{2}}\bigl(\varepsilon_{2}+\nu\,\varepsilon_{1}\bigr).

Passo 4

Agora substituímos
\varepsilon_{1}=560\times10^{-6},
\varepsilon_{2}=310\times10^{-6},
E=70\,\mathrm{GPa}=70\times10^{9}\,\mathrm{Pa} e \nu=0,33.
O denominador comum é
1-\nu^{2}=1-0,33^{2}=1-0,1089=0,8911.
O numerador de \sigma_{1} fica
E\bigl(\varepsilon_{1}+\nu\,\varepsilon_{2}\bigr) =70\times10^{9}\bigl(560\times10^{-6}+0,33\cdot310\times10^{-6}\bigr) \approx46{,}36\times10^{6}\,\mathrm{Pa},
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\sigma_{1} \approx\frac{46{,}36\times10^{6}}{0,8911} \approx52{,}0\times10^{6}\,\mathrm{Pa}=52{,}0\,\mathrm{MPa}.
De modo análogo, o numerador de \sigma_{2} é
70\times10^{9}\bigl(310\times10^{-6}+0,33\cdot560\times10^{-6}\bigr) \approx34{,}64\times10^{6}\,\mathrm{Pa},
portanto
\sigma_{2} \approx\frac{34{,}64\times10^{6}}{0,8911} \approx38{,}9\times10^{6}\,\mathrm{Pa}=38{,}9\,\mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_{1}\approx52{,}0\,\mathrm{MPa}
\sigma_{2}\approx38{,}9\,\mathrm{MPa}

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