Dois mols de um gás diatômico inicialmente a 300 K realizam o seguinte ciclo: o gás é (1) aquecido a volume constante até 800 K , (2) liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial, (3) contraído a pressão constante para o estado inicial. Supondo que as moléculas do gás nem giram nem oscilam, determine:
A) A energia transferida para o gás em forma de calor.
B) O trabalho líquido realizado pelo gás.
C) A eficiência do ciclo.
D) A variação de entropia em cada etapa do ciclo.
E) A variação de entropia no ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo com n=2 mol de um gás diatômico que, no entanto, não apresenta rotação nem vibração, ou seja, só tem as 3 graus de liberdade translacionais. As etapas são:
  1. Aquecimento a volume constante de T_{1}=300 K até T_{2}=800 K.
  2. Expansão isotérmica a T=800 K até a pressão retornar ao valor inicial P_{1}.
  3. Compressão a pressão constante P_{1} até retornar ao estado (P_{1},V_{1},T_{1}).
    Vamos precisar de C_{V}, C_{P}, das fórmulas de calor e trabalho em cada processo e dos conceitos de eficiência e entropia.

Passo 2

Como só há 3 graus de liberdade translacionais,
C_{V}=\frac{3}{2}R,\quad C_{P}=C_{V}+R=\frac{5}{2}R.
Na etapa 1 (volume constante):
Q_{1}=n\,C_{V}(T_{2}-T_{1}) =2\cdot\frac{3}{2}R\,(800-300) =1500\,R,
W_{1}=0.

Passo 3

Na etapa 2 (isotérmica a T=800 K), o volume inicial desta etapa é V_{2}=V_{1} e o final V_{3}=(T/P_{1})nR=(800/300)V_{1}=(8/3)V_{1}. Logo
Q_{2}=W_{2} =n\,R\,T\ln\frac{V_{3}}{V_{2}} =2\,R\cdot800\;\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr) =1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr).

Passo 4

Na etapa 3 (pressão constante P_{1}, de T_{3}=800 K a T_{1}=300 K):
Q_{3}=n\,C_{P}(T_{1}-T_{3}) =2\cdot\frac{5}{2}R\,(300-800) =-2500\,R,
W_{3}=P_{1}(V_{1}-V_{3}) =n\,R\,(T_{1}-T_{3}) =2\,R\,(300-800) =-1000\,R.

Passo 5

O calor líquido no ciclo é
Q_{\text{net}}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3} =1500\,R+1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)-2500\,R =-1000\,R+1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr).
O trabalho líquido realizado pelo gás é igual a W_{\text{net}}=Q_{\text{net}}, pois \Delta U_{\text{ciclo}}=0:
W_{\text{net}} =1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)-1000\,R.

Passo 6

A eficiência do ciclo é
\eta=\frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}},
onde Q_{\text{in}}=Q_{1}+Q_{2} são os calores absorvidos:
Q_{\text{in}} =1500\,R+1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr).
Logo
\eta =1-\frac{-Q_{3}}{Q_{\text{in}}} =1-\frac{2500\,R}{1500\,R+1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)} \approx0{,}186\quad(18{,}6\%).

Passo 7

A variação de entropia em cada etapa é
\Delta S_{1} =n\,C_{V}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} =2\cdot\frac{3}{2}R\ln\!\bigl(\tfrac{800}{300}\bigr) =3\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr),
\Delta S_{2} =\frac{Q_{2}}{T} =\frac{1600\,R\ln\!(8/3)}{800} =2\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr),
\Delta S_{3} =n\,C_{P}\ln\frac{T_{1}}{T_{3}} =2\cdot\frac{5}{2}R\ln\!\bigl(\tfrac{300}{800}\bigr) =5\,R\ln\!\bigl(\tfrac{3}{8}\bigr) =-\bigl(3+2\bigr)R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr).
Como \Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\Delta S_{3}=0, a variação de entropia total do ciclo é zero.

Resposta

A) Q_{\text{net}}=-1000\,R+1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr).
B) W_{\text{net}}=1600\,R\ln\!\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)-1000\,R.
C) \eta=1-\dfrac{2500\,R}{1500\,R+1600\,R\ln(\tfrac{8}{3})}\approx0{,}186.
D)
\Delta S_{1}=3R\ln(\tfrac{8}{3}),
\Delta S_{2}=2R\ln(\tfrac{8}{3}),
\Delta S_{3}=5R\ln(\tfrac{3}{8}).
E) \Delta S_{\text{ciclo}}=0.

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