Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.41) (y+1) d x-x d y=0
(5.41) (y+1) d x-x d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu determine um fator integrante apropriado. Informações relevantes que vêm do enunciado:
- Podemos colocar a equação na forma
com - A tarefa é achar um fator integrante
(dependendo só de ou só de , por exemplo) que torne a equação exata quando multiplicada por .
Passo 2
Primeiro verifico se a equação já é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata. Precisamos, portanto, encontrar um fator integrante
tal que ao multiplicar por
a equação se torne exata.
Passo 3
Vou procurar primeiro um fator integrante que dependa só de
, isto é
. Há uma fórmula prática: se
é função só de
, então existe
e ela satisfaz
Agora calculo o lado direito usando
e
:
portanto
que depende apenas de
. Logo podemos encontrar
integrando:
Tomando a constante de integração
(um fator multiplicativo constante não altera a exatidão), obtemos
Para simplicidade escolhemos
Passo 4
Faço uma verificação rápida: multiplico a equação original por
. Então
Calculo as derivadas parciais:
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é exata. Portanto
é um fator integrante válido.
Passo 5
Também posso procurar um fator integrante que dependa só de
, ou seja
. A fórmula análoga é: se
é função só de
, então existe
com
Calculo o numerador:
então
que depende apenas de
. Integro:
Tomando
obtemos
Passo 6
Verifico a exatidão com
: multiplicando, temos
As derivadas são
iguais, logo a equação também fica exata com esse fator integrante. Conclusão: ambas as escolhas são válidas (diferenças por um fator multiplicativo não essencial).