Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.41) (y+1) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y+1)\,dx - x\,dy = 0
e pede que eu determine um fator integrante apropriado. Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • Podemos colocar a equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y) = y+1,\qquad N(x,y) = -x.
  • A tarefa é achar um fator integrante \mu (dependendo só de x ou só de y, por exemplo) que torne a equação exata quando multiplicada por \mu.

Passo 2

Primeiro verifico se a equação já é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata. Precisamos, portanto, encontrar um fator integrante \mu tal que ao multiplicar por \mu a equação se torne exata.

Passo 3

Vou procurar primeiro um fator integrante que dependa só de x, isto é \mu=\mu(x). Há uma fórmula prática: se
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
é função só de x, então existe \mu(x) e ela satisfaz
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}.
Agora calculo o lado direito usando M e N:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=1-(-1)=2,
portanto
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x},
que depende apenas de x. Logo podemos encontrar \mu(x) integrando:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = -\frac{2}{x}\quad\Longrightarrow\quad \ln|\mu(x)| = \int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x| + C.
Tomando a constante de integração C=0 (um fator multiplicativo constante não altera a exatidão), obtemos
\mu(x)=e^{-2\ln|x|}=|x|^{-2}.
Para simplicidade escolhemos
\mu(x)=x^{-2}.

Passo 4

Faço uma verificação rápida: multiplico a equação original por \mu(x)=x^{-2}. Então
\tilde M(x,y)=\frac{y+1}{x^{2}},\qquad \tilde N(x,y)=-\frac{1}{x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}},\qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{d}{dx}\Big(-\frac{1}{x}\Big)=\frac{1}{x^{2}}.
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada por x^{-2} é exata. Portanto \mu(x)=x^{-2} é um fator integrante válido.

Passo 5

Também posso procurar um fator integrante que dependa só de y, ou seja \mu=\mu(y). A fórmula análoga é: se
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}
é função só de y, então existe \mu(y) com
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}.
Calculo o numerador:
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=-1-1=-2,
então
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{-2}{y+1},
que depende apenas de y. Integro:
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} = -\frac{2}{y+1}\quad\Longrightarrow\quad \ln|\mu(y)| = \int -\frac{2}{y+1}\,dy = -2\ln|y+1| + C.
Tomando C=0 obtemos
\mu(y)=(y+1)^{-2}.

Passo 6

Verifico a exatidão com \mu(y)=(y+1)^{-2}: multiplicando, temos
\tilde M(x,y)=\frac{1}{y+1},\qquad \tilde N(x,y)=-x(y+1)^{-2}.
As derivadas são
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=-\frac{1}{(y+1)^{2}},\qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=-\frac{1}{(y+1)^{2}},
iguais, logo a equação também fica exata com esse fator integrante. Conclusão: ambas as escolhas são válidas (diferenças por um fator multiplicativo não essencial).

Resposta

\mu(x)=x^{-2}
\mu(y)=(y+1)^{-2}

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