Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva.” A equação proposta é
Informações fornecidas:
- A equação diferencial está escrita na forma diferencial total com diferenciais
e . - Não há condições iniciais fornecidas (solução geral é esperada).
O que precisa ser feito:
- Identificar um fator integrante apropriado (se necessário) para transformar a equação em exata.
- Resolver a equação (encontrar a família de curvas soluções).
Passo 2
Reescrevo a equação na forma padrão
. Aqui
Explicando devagar: isso significa que a equação é
Eu identifiquei
como o coeficiente de
e
como o coeficiente de
.
Passo 3
Teste de exatidão (passo padrão): para que a equação seja exata, deve valer
Calculo as derivadas parciais:
Como ambas são iguais (
), a equação já é exata. Conclusão: não é necessário buscar um fator integrante não-constante; um fator integrante apropriado é a função constante
Obs.: quando a equação não é exata, há critérios práticos para tentar um fator integrante dependente só de
ou só de
. Essas fórmulas são:
Aqui não precisamos usá-las porque a equação já é exata.
Passo 4
Resolver a equação exata: existe uma função potencial
tal que
Vou construir
integrando a primeira igualdade em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Determinar
usando a outra condição
. Calculo
a partir de
:
Igualando a condição dada:
Integro em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos incorporá-la depois como parte da constante geral da solução.
Passo 6
Logo a função potencial é
A relação implícita geral para a solução da equação exata é
constante. Reagrupando a constante (chamando
a constante geral), obtemos a família de curvas solução
onde
é uma constante arbitrária.