Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva:
d x-2 y d y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva.” A equação proposta é
d x - 2y\, d y = 0.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial está escrita na forma diferencial total com diferenciais d x e d y.
  • Não há condições iniciais fornecidas (solução geral é esperada).
O que precisa ser feito:
  • Identificar um fator integrante apropriado (se necessário) para transformar a equação em exata.
  • Resolver a equação (encontrar a família de curvas soluções).

Passo 2

Reescrevo a equação na forma padrão M(x,y)\,d x + N(x,y)\,d y = 0. Aqui
M(x,y)=1, \qquad N(x,y)=-2y.
Explicando devagar: isso significa que a equação é
1\cdot d x + (-2y)\cdot d y = 0.
Eu identifiquei M como o coeficiente de d x e N como o coeficiente de d y.

Passo 3

Teste de exatidão (passo padrão): para que a equação seja exata, deve valer
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1)=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2y)=0.
Como ambas são iguais ( 0=0), a equação já é exata. Conclusão: não é necessário buscar um fator integrante não-constante; um fator integrante apropriado é a função constante
\mu(x,y)=1.
Obs.: quando a equação não é exata, há critérios práticos para tentar um fator integrante dependente só de x ou só de y. Essas fórmulas são:
\text{se }\frac{1}{N}\!\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=g(x)\text{ depende só de }x,\text{ então }\mu(x)=\exp\!\left(\int g(x)\,dx\right);óã
\text{se }\frac{1}{M}\!\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=h(y)\text{ depende só de }y,\text{ então }\mu(y)=\exp\!\left(\int h(y)\,dy\right).óã
Aqui não precisamos usá-las porque a equação já é exata.

Passo 4

Resolver a equação exata: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=1, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=-2y.
Vou construir \Phi integrando a primeira igualdade em relação a x:
\Phi(x,y)=\int 1\,dx = x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 5

Determinar h(y) usando a outra condição \Phi_y = -2y. Calculo \Phi_y a partir de \Phi(x,y)=x+h(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=h'(y).
Igualando a condição dada:
h'(y) = -2y.
Integro em relação a y:
h(y)=\int -2y\,dy = -y^{2} + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos incorporá-la depois como parte da constante geral da solução.

Passo 6

Logo a função potencial é
\Phi(x,y)=x - y^{2} + C_0.
A relação implícita geral para a solução da equação exata é \Phi(x,y)= constante. Reagrupando a constante (chamando C a constante geral), obtemos a família de curvas solução
x - y^{2} = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

x - y^{2} = C

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