Determinar os valores de
para os quais a função
é solução da equação:
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e a equação diferencial que deve ser satisfeita:
A pergunta é: para quais valores de
a função dada é solução da equação diferencial? Isto significa que, ao substituir
na equação, a identidade obtida deve valer para todo
do domínio (tipicamente todo
).
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Usamos a regra da cadeia e a regra da potência: se
, então
A derivada de
é
. Portanto
Passo 3
Calculamos agora
. Como
,
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
Isso dá
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores (esta multiplicação é válida para todos os
, pois
):
Passo 5
Organizamos como um polinômio em
. Primeiro expandimos
:
Substituindo,
Reagrupando termos,
Esta é uma identidade polinomial em
que deve valer para todo
. Portanto todos os coeficientes dos termos em potências diferentes de
devem ser zero. Observe o coeficiente de
: ele é
. Para a identidade ser verdadeira para todo
precisamos de
o que é impossível. Logo não existem valores de
que possam anular esse coeficiente, e portanto não existe
que torne a identidade verdadeira para todo
.
Passo 6
Conclusão lógica: não há escolha de
(nem real, nem complexa) que faça a função
satisfazer a equação diferencial
para todo
. A obstrução aparece já no termo de maior grau
, cujo coeficiente
não pode ser anulado por nenhuma escolha de
.