Determinar os valores de \mathbf{r} para os quais a função \mathbf{y}(\mathbf{t}) é solução da equação:
y(t)=r /\left(t^{2}+1\right) e y^{\prime}-2+t y^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
y(t)=\frac{r}{t^{2}+1}
e a equação diferencial que deve ser satisfeita:
y'-2+t\,y^{2}=0.
A pergunta é: para quais valores de r a função dada é solução da equação diferencial? Isto significa que, ao substituir y(t) na equação, a identidade obtida deve valer para todo t do domínio (tipicamente todo t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Vamos calcular a derivada y'(t). Usamos a regra da cadeia e a regra da potência: se y(t)=r\,(t^{2}+1)^{-1}, então
y'(t)=r\cdot\frac{d}{dt}\bigl((t^{2}+1)^{-1}\bigr).
A derivada de (t^{2}+1)^{-1} é -1\cdot (t^{2}+1)^{-2}\cdot 2t. Portanto
y'(t) = r\cdot\bigl(-2t\bigr)\,(t^{2}+1)^{-2} = -\frac{2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Calculamos agora y^{2}(t). Como y(t)=\dfrac{r}{t^{2}+1},
y^{2}(t)=\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Substituímos y'(t) e y^{2}(t) na equação diferencial
y'-2+t\,y^{2}=0.
Isso dá
-\frac{2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}} - 2 + t\cdot\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} = 0.
Multiplicamos ambos os lados por (t^{2}+1)^{2} para eliminar denominadores (esta multiplicação é válida para todos os t, pois (t^{2}+1)^{2}>0):
-2r\,t - 2\,(t^{2}+1)^{2} + t\,r^{2} = 0.

Passo 5

Organizamos como um polinômio em t. Primeiro expandimos (t^{2}+1)^{2}:
(t^{2}+1)^{2} = t^{4}+2t^{2}+1.
Substituindo,
-2r\,t - 2\bigl(t^{4}+2t^{2}+1\bigr) + t\,r^{2} = 0.
Reagrupando termos,
-2t^{4} -4t^{2} -2 + t\,(r^{2}-2r) = 0.
Esta é uma identidade polinomial em t que deve valer para todo t. Portanto todos os coeficientes dos termos em potências diferentes de t devem ser zero. Observe o coeficiente de t^{4}: ele é -2. Para a identidade ser verdadeira para todo t precisamos de
-2 = 0,
o que é impossível. Logo não existem valores de r que possam anular esse coeficiente, e portanto não existe r que torne a identidade verdadeira para todo t.

Passo 6

Conclusão lógica: não há escolha de r (nem real, nem complexa) que faça a função y(t)=\dfrac{r}{t^{2}+1} satisfazer a equação diferencial y'-2+t y^{2}=0 para todo t. A obstrução aparece já no termo de maior grau t^{4}, cujo coeficiente -2 não pode ser anulado por nenhuma escolha de r.

Resposta

\text{Não existe valor de }r\text{ tal que }y(t)=\dfrac{r}{t^{2}+1}\text{ seja solução de }y'-2+t\,y^{2}=0.ãçã

Exercícios relacionados