Verifique se as equações diferenciais são exatas e resolva a questão:
\left(y+2 x y^{3}\right) d x+\left(1+3 x^{2} y^{2}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y+2 x y^{3}\right) dx+\left(1+3 x^{2} y^{2}+x\right) dy=0
e pede duas coisas: verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, resolver (encontrar a solução geral).
Dados relevantes que extraí do enunciado:
  • M(x,y)=y+2 x y^{3} é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=1+3 x^{2} y^{2}+x é o coeficiente de dy.

Passo 2

Explicação do teste de exatidão (passo-a-passo e com calma):
Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Um teste prático é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
se as funções forem contínuas num domínio simplesmente conexo. Aqui M e N são polinômios (logo contínuos em todo \mathbb{R}^2), então basta checar a igualdade das parciais cruzadas.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} passo a passo:
M(x,y)=y+2x y^{3}.
Derivando em relação a y, trata-se x como constante:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{3}\big)=1+2x\cdot 3 y^{2}=1+6x y^{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} passo a passo:
N(x,y)=1+3x^{2}y^{2}+x.
Derivando em relação a x, trata-se y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(1\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)=0+3\cdot 2x\cdot y^{2}+1=6x y^{2}+1.

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1+6x y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=6x y^{2}+1.
Elas são iguais (a ordem dos termos não importa), portanto a equação é exata em todo \mathbb{R}^2.

Passo 6

Agora vamos encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Começo integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(y+2x y^{3}\big)\,dx.
Integração termo a termo:
\int y\,dx = x y, \qquad \int 2x y^{3}\,dx = 2 y^{3}\int x\,dx =2 y^{3}\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2} y^{3}.
Então, ao integrar, aparece uma função arbitrária de y (porque a derivada parcial em x “some” com termos apenas em y):
\Phi(x,y)=x y + x^{2} y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 7

Determinar h(y) usando a condição \Phi_y=N. Primeiro calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x y + x^{2} y^{3} + h(y)\big)=x + 3 x^{2} y^{2} + h'(y).
Como \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=1+3 x^{2} y^{2}+x, igualamos:
x + 3 x^{2} y^{2} + h'(y)=1+3 x^{2} y^{2}+x.
Cancelando os termos idênticos x e 3x^{2}y^{2} em ambos os lados, obtemos
h'(y)=1.

Passo 8

Integrando h'(y)=1 em relação a y temos
h(y)=\int 1\,dy = y + C_{0},
onde C_{0} é constante. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x y + x^{2} y^{3} + y + C_{0}.

Passo 9

A solução geral implícita da equação diferencial exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos absorver C_{0} numa constante geral C. Logo a solução implícita é
x y + x^{2} y^{3} + y = C,
onde C é constante arbitrária. (Opcional: pode-se verificar derivando ambos os lados e conferindo que se recupera a equação original.)

Resposta

x y + x^{2} y^{3} + y = C

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