Verifique se as equações diferenciais são exatas e resolva a questão:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, resolver (encontrar a solução geral).
Dados relevantes que extraí do enunciado:
Dados relevantes que extraí do enunciado:
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
Passo 2
Explicação do teste de exatidão (passo-a-passo e com calma):
Uma equação diferencial na forma
Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Um teste prático é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
se as funções forem contínuas num domínio simplesmente conexo. Aqui
e
são polinômios (logo contínuos em todo
), então basta checar a igualdade das parciais cruzadas.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Derivando em relação a
, trata-se
como constante:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Derivando em relação a
, trata-se
como constante:
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Elas são iguais (a ordem dos termos não importa), portanto a equação é exata em todo
.
Passo 6
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
e
. Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Integração termo a termo:
Então, ao integrar, aparece uma função arbitrária de
(porque a derivada parcial em
“some” com termos apenas em
):
onde
é uma função a determinar.
Passo 7
Determinar
usando a condição
. Primeiro calculo
a partir da expressão encontrada:
Como
deve ser igual a
, igualamos:
Cancelando os termos idênticos
e
em ambos os lados, obtemos
Passo 8
Integrando
em relação a
temos
onde
é constante. Assim a função potencial completa é
Passo 9
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
. Podemos absorver
numa constante geral
. Logo a solução implícita é
onde
é constante arbitrária. (Opcional: pode-se verificar derivando ambos os lados e conferindo que se recupera a equação original.)