Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo. [0,5] \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.
Informações relevantes: a expressão é uma função racional (quociente de polinômios) e o ponto de interesse é x=2. A tarefa é determinar, sem usar a Regra de L’Hôpital, o valor desse limite (se existir).
Passo 2
Primeiro teste rápido: se eu substituir x=2 diretamente na expressão, o que acontece? Vou fazer isso só para verificar se dá um valor ou uma forma indeterminada:
x^{4}-16\big|_{x=2}=2^{4}-16=16-16=0,
8-x^{3}\big|_{x=2}=8-2^{3}=8-8=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso diz que não podemos concluir o limite por simples substituição: precisamos manipular a expressão (algebricamente) para eliminar a indeterminação. Aqui a ferramenta natural é fatorar polinômios e simplificar fatores comuns.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador \,x^{4}-16.)
Uma maneira clara é ver \,x^{4}-16=(x^{2})^{2}-4^{2}, ou seja uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aplicando com a=x^{2} e b=4 obtemos
x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).
O fator x^{2}-4 é novamente uma diferença de quadrados: x^{2}-4=(x-2)(x+2). Assim
x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).
Passo 4
Agora fatoramos o denominador \,8-x^{3}.)
Note que 8=2^{3}, então 8-x^{3}=2^{3}-x^{3}. A fórmula da diferença de cubos é
Observação importante (teoria útil para a prova): cancelar um fator que é zero em x=2 é legítimo para fins de limite porque o limite depende apenas do comportamento para x próximo de 2, não do valor no próprio ponto. Depois de cancelar, obtemos uma função que é contínua em x=2, então o limite será o valor dessa função em x=2.
Passo 6
Agora avalio a expressão simplificada em x=2:
calculo o numerador:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}.
Passo 7
Conclusão: após a simplificação a função fica contínua em x=2, então o limite é simplesmente o valor obtido pela substituição na expressão simplificada, que é -\tfrac{8}{3}. Boa! Você conseguiu transformar a indeterminação por fatoração e cancelar o fator crítico.