Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
[0,5] \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}.
Informações relevantes: a expressão é uma função racional (quociente de polinômios) e o ponto de interesse é x=2. A tarefa é determinar, sem usar a Regra de L’Hôpital, o valor desse limite (se existir).

Passo 2

Primeiro teste rápido: se eu substituir x=2 diretamente na expressão, o que acontece? Vou fazer isso só para verificar se dá um valor ou uma forma indeterminada:
x^{4}-16\big|_{x=2}=2^{4}-16=16-16=0,
8-x^{3}\big|_{x=2}=8-2^{3}=8-8=0.
Portanto a substituição direta dá a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso diz que não podemos concluir o limite por simples substituição: precisamos manipular a expressão (algebricamente) para eliminar a indeterminação. Aqui a ferramenta natural é fatorar polinômios e simplificar fatores comuns.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador \,x^{4}-16.)
Uma maneira clara é ver \,x^{4}-16=(x^{2})^{2}-4^{2}, ou seja uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aplicando com a=x^{2} e b=4 obtemos
x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).
O fator x^{2}-4 é novamente uma diferença de quadrados: x^{2}-4=(x-2)(x+2). Assim
x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \,8-x^{3}.)
Note que 8=2^{3}, então 8-x^{3}=2^{3}-x^{3}. A fórmula da diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=2 e b=x temos
2^{3}-x^{3}=(2-x)(2^{2}+2x+x^{2})=(2-x)(4+2x+x^{2}).
Outra forma equivalente, que deixa explícito o fator (x-2), é escrever
8-x^{3}=-(x^{3}-8)=-(x-2)(x^{2}+2x+4).
Ambas as escritas são corretas; a segunda destaca que existe um fator (x-2) (com sinal negativo).

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão do limite, obtemos
\frac{x^{4}-16}{8-x^{3}}=\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{-(x-2)(x^{2}+2x+4)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), ficando
\frac{x^{4}-16}{8-x^{3}} = -\frac{(x+2)(x^{2}+4)}{x^{2}+2x+4}\quad\text{para }x\neq 2.
Observação importante (teoria útil para a prova): cancelar um fator que é zero em x=2 é legítimo para fins de limite porque o limite depende apenas do comportamento para x próximo de 2, não do valor no próprio ponto. Depois de cancelar, obtemos uma função que é contínua em x=2, então o limite será o valor dessa função em x=2.

Passo 6

Agora avalio a expressão simplificada em x=2:
calculo o numerador:
(x+2)(x^{2}+4)\big|_{x=2}=(2+2)(2^{2}+4)=4\cdot(4+4)=4\cdot 8=32.
calculo o denominador (já com o sinal negativo fora):
-(x^{2}+2x+4)\big|_{x=2}=-(2^{2}+2\cdot 2+4)=-(4+4+4)=-(12)=-12.
Portanto o valor é
\frac{32}{-12}=-\frac{32}{12}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}.

Passo 7

Conclusão: após a simplificação a função fica contínua em x=2, então o limite é simplesmente o valor obtido pela substituição na expressão simplificada, que é -\tfrac{8}{3}. Boa! Você conseguiu transformar a indeterminação por fatoração e cancelar o fator crítico.

Resposta

-\dfrac{8}{3}

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