Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo. [0,5] \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3 x+4}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+1}-1}
e o ponto onde o limite é tomado é x\to 0. Observação imediata: ao substituir x=0 tanto o numerador quanto o denominador dão 0, ou seja temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. A resolução começa a partir dessa informação.
Passo 2
Estratégia elementar (sem Regra de L’Hospital): eliminar as raízes usando conjugados. Primeiro, trate o numerador. Lembra do truque do conjugado: para qualquer a,b temos (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui use
a=\sqrt{3x+4},\qquad b=\sqrt{x+4}.
Multiplicando numerador e denominador da fração original pelo conjugado do numerador \sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4} (isso é equivalente a multiplicar por 1) obtemos:
Agora trate o fator \sqrt{x+1}-1 no denominador. Use novamente o conjugado para reescrevê-lo de forma que apareça um fator x que possa cancelar. Multiplique e divida por \sqrt{x+1}+1 (novamente é multiplicar por 1):
Simplifique a fração: o fator x no numerador cancela com o x do denominador (isso é válido para x próximo de 0, x\neq 0; na análise de limite consideramos valores arbitrariamente próximos de 0 diferentes de 0):
Esta nova expressão já não é indeterminada: é uma função formada por somas e raízes que é contínua em x=0. Assim podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=0.
Passo 5
Calcule a substituição x=0 na expressão simplificada:
Faça as contas passo a passo: 1+1=2 e 2+2=4, logo a fração interna é \tfrac{2}{4}. Multiplicando por 2 vem 2\cdot\tfrac{2}{4}. Simplifique \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}, então 2\cdot\tfrac{1}{2}=1.