Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
[0,5] \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3 x+4}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+1}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+1}-1}.
Informações importantes que já temos do enunciado:
\text{Numerador}=\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+4},\qquad \text{Denominador}=\sqrt{x+1}-1,
e o ponto onde o limite é tomado é x\to 0. Observação imediata: ao substituir x=0 tanto o numerador quanto o denominador dão 0, ou seja temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. A resolução começa a partir dessa informação.

Passo 2

Estratégia elementar (sem Regra de L’Hospital): eliminar as raízes usando conjugados. Primeiro, trate o numerador. Lembra do truque do conjugado: para qualquer a,b temos (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui use
a=\sqrt{3x+4},\qquad b=\sqrt{x+4}.
Multiplicando numerador e denominador da fração original pelo conjugado do numerador \sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4} (isso é equivalente a multiplicar por 1) obtemos:
\frac{\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+1}-1} = \frac{\left(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}\right)}{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}\right)}.
Agora calcule o produto no numerador usando (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
\left(\sqrt{3x+4}\right)^2-\left(\sqrt{x+4}\right)^2=(3x+4)-(x+4)=2x.
Portanto a expressão fica
\frac{2x}{\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)}.

Passo 3

Agora trate o fator \sqrt{x+1}-1 no denominador. Use novamente o conjugado para reescrevê-lo de forma que apareça um fator x que possa cancelar. Multiplique e divida por \sqrt{x+1}+1 (novamente é multiplicar por 1):
\sqrt{x+1}-1 = \frac{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(x+1)-1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}.
Esta é uma identidade válida para x perto de 0 (ou seja, para x\neq -1), e mostra claramente que \sqrt{x+1}-1 tem um fator x.

Passo 4

Substitua essa expressão na fração obtida no Passo 2. Temos
\frac{2x}{\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}\right)\left(\sqrt{x+1}-1\right)} = \frac{2x}{\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}\right)\left(\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}\right)}.
Simplifique a fração: o fator x no numerador cancela com o x do denominador (isso é válido para x próximo de 0, x\neq 0; na análise de limite consideramos valores arbitrariamente próximos de 0 diferentes de 0):
\frac{2x}{\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}\right)\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}} = \frac{2x}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}} = 2\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}}.
Portanto para x perto de 0 (e x\neq 0) a expressão original é igual a
2\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}}.
Esta nova expressão já não é indeterminada: é uma função formada por somas e raízes que é contínua em x=0. Assim podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=0.

Passo 5

Calcule a substituição x=0 na expressão simplificada:
\sqrt{x+1}\Big|_{x=0}=\sqrt{1}=1,\qquad \sqrt{3x+4}\Big|_{x=0}=\sqrt{4}=2,\qquad \sqrt{x+4}\Big|_{x=0}=\sqrt{4}=2.
Substituindo em
2\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{x+4}}
obtemos
2\cdot\frac{1+1}{2+2}.
Faça as contas passo a passo: 1+1=2 e 2+2=4, logo a fração interna é \tfrac{2}{4}. Multiplicando por 2 vem 2\cdot\tfrac{2}{4}. Simplifique \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}, então 2\cdot\tfrac{1}{2}=1.

Resposta

1

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