Explique com suas palavras o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo e a sua importância para o estudo do Cálculo.

Passo 1

O que você pediu: explicar com minhas palavras o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo e explicar por que ele é importante para estudar Cálculo.
Informações dadas: nenhuma outra informação numérica ou figura — só o pedido para explicar o enunciado e a importância.

Passo 2

Primeira ideia intuitiva (sem fórmulas ainda): imagine que você está acumulando área sob o gráfico de uma função f conforme anda no eixo x. Se você define uma função que, para cada x, diz “quanta área eu acumulei desde um ponto fixo a até x”, essa nova função mede área acumulada. O Teorema Fundamental do Cálculo liga justamente essa função “acumuladora de áreas” com a operação inversa da derivada (a antiderivada). Em palavras leves: calcular áreas acumuladas e calcular taxas de variação são duas faces da mesma moeda.

Passo 3

Definição básica de termos (só para ficar claro o vocabulário que vamos usar):
  • f é uma função definida num intervalo [a,b].
  • A integral definida \displaystyle \int_a^x f(t)\,dt é a função que dá a área acumulada de f entre a e x (sinal contando: áreas abaixo do eixo podem diminuir a soma).
  • Uma antiderivada (ou primitiva) de f é uma função G tal que G'(x)=f(x) para todo x no intervalo.

Passo 4

Enunciado — Parte 1 (forma prática e verbal): se f é contínua em [a,b], então a função
F(x)=\int_a^x f(t)\,dt
é diferenciável e sua derivada é exatamente f:
F'(x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in(a,b).
O que isso quer dizer, com calma: a taxa de crescimento da área acumulada no ponto x é igual ao valor da função f naquele ponto. Intuitivamente, quando você aumenta x por um pouquinho \Delta x, a área extra ganha é aproximadamente a altura f(x) vezes \Delta x; dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to0 você recebe f(x).

Passo 5

Uma demonstração curta e didática da Parte 1 (passo a passo):
  1. Use a definição da derivada:
F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}.
  1. Substitua a definição de F:
\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt.
  1. Como f é contínua em x, quando h é pequeno f(t) fica próximo de f(x) para t\in[x,x+h]. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais (ou pela ideia de média), existe um c\in[x,x+h] tal que
\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}\cdot h.
  1. Dividindo por h e fazendo h\to0, temos c\to x, então f\text{(c)}\to f(x). Portanto o limite é f(x). Logo F'(x)=f(x).
    Comentário: aqui a continuidade de f garante que esse limite existe.

Passo 6

Exemplo prático da Parte 1 (para fixar): tome f(t)=t^2 e a=0. Defina
F(x)=\int_0^x t^2\,dt.
Calcule a integral (usando a regra de potências para integrais): uma antiderivada de t^2 é t^3/3, então
F(x)=\left.\frac{t^3}{3}\right|_{0}^{x}=\frac{x^3}{3}.
Agora derive F(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2=f(x).
Ou seja, a derivada da função que acumula área é a própria função f. Isso é exatamente a declaração da Parte 1.

Passo 7

Enunciado — Parte 2 (forma prática e verbal): se f é contínua em [a,b] e G é qualquer antiderivada de f no intervalo (ou seja, G'(x)=f(x)), então a integral definida entre a e b é dada por
\int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a).
O que isso significa: para calcular a área acumulada entre a e b você não precisa fazer somas infinitas; basta encontrar uma antiderivada e calcular a diferença entre seus valores nos extremos.

Passo 8

Demonstrando a Parte 2 rapidamente usando a Parte 1:
  1. Defina F(x)=\int_a^x f(t)\,dt. Pela Parte 1, F'(x)=f(x).
  2. Se G é outra antiderivada de f, então G'(x)=F'(x) para todo x. Logo G-F tem derivada zero e é constante: G(x)=F(x)+C.
  3. Avalie em x=a: G(a)=F(a)+C. Como F(a)=\int_a^a f=0, temos C=G(a). Portanto
F(x)=G(x)-G(a).
  1. Em particular, para x=b:
\int_a^b f(t)\,dt = F(b)=G(b)-G(a).
E pronto — essa é a fórmula usada em qualquer prova prática para calcular integrais definidas.

Passo 9

Exemplo prático da Parte 2 (aplicação direta): calcule \displaystyle \int_1^3 2x\,dx.
  1. Encontre antiderivada de 2x: G(x)=x^2 (pois G'(x)=2x).
  2. Aplique G(b)-G(a):
\int_1^3 2x\,dx = G(3)-G(1) = 3^2 - 1^2 = 9-1 = 8.
Isso ilustra a grande praticidade do Teorema: transformar um limite de somas em duas substituições.

Passo 10

Consequências úteis e “macetes” para prova:
  • Para derivar uma função do tipo \displaystyle H(x)=\int_a^{g(x)} f(t)\,dt, use a Parte 1 + regra da cadeia:
H'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Exemplo: se H(x)=\int_0^{x^2}\sin t\,dt, então H'(x)=\sin(x^2)\cdot 2x.
  • Para calcular \int_a^b f(x)\,dx sempre procure uma primitiva G. Se não encontrar explícita, use técnicas de integração (substituição, partes, tabelas) — mas a meta final é obter G(b)-G(a).
  • Verifique sempre hipóteses: continuidade (ou, em enunciados mais avançados, integrabilidade de Riemann) no intervalo garante que as partes do teorema funcionem.

Passo 11

Observações sobre hipóteses e limites:
  • O requisito mais comum é que f seja contínua em [a,b]. Existem versões mais técnicas do teorema que relaxam essa condição (por exemplo, f apenas integrável em sentido de Riemann), mas para provas e aplicações básicas, continuidade é a hipótese padrão.
  • Se a função tiver descontinuidades isoladas, muitas vezes ainda dá para aplicar fórmulas por partes, mas aí cuidado — verifique o enunciado.

Passo 12

Por que isso é importante (motivos práticos e conceituais):
  • Une duas operações aparentemente distintas: diferenciação (taxas de variação) e integração (acúmulo/área). Saber que são inversas torna o cálculo muito mais poderoso.
  • Transforma um conceito abstrato (limite de somas) em algo computável: basta encontrar uma antiderivada — isso é o que torna possível resolver a maioria das integrais definidas “na caneta” durante provas.
  • Tem aplicações diretas: cálculo de áreas, trabalho em física, relação posição-velocidade-aceleração (velocidade é derivada da posição; posição é integral da velocidade), solução de problemas em probabilidade, entre muitos outros.
  • Conceitualmente, dá fundamento: mostra que a integral definida não é uma operação independente e misteriosa, mas está conectada à derivada de maneira profunda.

Passo 13

Resumo prático para a prova (checklist rápido que eu usaria se estivesse nervoso no dia):
  • Se pedirem derivada de uma integral com limite variável: aplique Parte 1 e, se necessário, a regra da cadeia.
  • Se pedirem integral definida: encontre uma antiderivada G e compute G(b)-G(a).
  • Sempre verifique: f é contínua no intervalo? senão, fique atento a hipóteses do exercício.
  • Faça exemplos simples para ganhar confiança (potências, exponencial, trigonometria básica).

Resposta

Parte 1: Se f é contínua em [a,b] e F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt, então F é diferenciável e F'(x)=f(x) para todo x\in(a,b).
Parte 2: Se f é contínua em [a,b] e G é qualquer antiderivada de f (ou seja, G'(x)=f(x)), então
\int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a).
Importância: o teorema liga integração e diferenciação (são operações inversas), transformando o cálculo de integrais definidas em avaliação de antiderivadas e dando interpretação física e geométrica ao acúmulo (área) e à taxa de variação.

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