Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas: a expressão é uma função racional (quociente de polinômios) com numerador
e denominador
. O ponto onde vamos avaliar o comportamento é
. Não podemos usar a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Ideia central (explicação didática): para limites de funções racionais quando
é útil comparar os graus (as potências mais altas) dos polinômios. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a fração tende a infinito (positiva ou negativamente, dependendo dos coeficientes dominantes). Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Se o grau do numerador for menor, o limite é
. Aqui o grau do numerador é
e do denominador é
, então esperamos que o quociente cresça sem limite (tenda a infinito) — vamos mostrar isso de forma controlada dividindo termos apropriados.
Passo 3
Escolhemos dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador, isto é por
. Por que isso? Porque ao dividir por
transformamos a expressão em termos que têm limites fáceis quando
: termos com
tendem a
. Faça a divisão termo a termo:
Passo 4
Analise os limites das partes que aparecem:
- O termo
tende a quando . - O termo
tende a . - O termo
(no denominador) tende a . - O termo
tende a .
Portanto, no numerador a expressão
tem comportamento dominado por
e tende a
quando
. No denominador a expressão
tende a
.
Passo 5
Combinando os resultados do passo anterior:
Logo o limite da fração original é
.
Passo 6
Para ficar mais rigoroso sobre o sinal positivo: para
grande (por exemplo
) temos
e
, então o denominador satisfaz
Assim, para
suficientemente grande a fração tem o mesmo sinal do numerador. Como o numerador cresce sem limite positivo (é aproximadamente
para
grande), a fração tende para
.
Passo 7
Resumo prático (dica para prova): quando tiver uma razão de polinômios, compare os graus
No nosso caso
(positivo) e do denominador é
(positivo), então o limite é
.]