Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
[0,5] \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}-3 x^{2}+x}{x^{3}-x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2}.
Informações relevantes dadas: a expressão é uma função racional (quociente de polinômios) com numerador x^{4}-3x^{2}+x e denominador x^{3}-x+2. O ponto onde vamos avaliar o comportamento é x\to\infty. Não podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Ideia central (explicação didática): para limites de funções racionais quando x\to\infty é útil comparar os graus (as potências mais altas) dos polinômios. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a fração tende a infinito (positiva ou negativamente, dependendo dos coeficientes dominantes). Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Se o grau do numerador for menor, o limite é 0. Aqui o grau do numerador é 4 e do denominador é 3, então esperamos que o quociente cresça sem limite (tenda a infinito) — vamos mostrar isso de forma controlada dividindo termos apropriados.

Passo 3

Escolhemos dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador, isto é por x^{3}. Por que isso? Porque ao dividir por x^{3} transformamos a expressão em termos que têm limites fáceis quando x\to\infty: termos com 1/x^{k} tendem a 0. Faça a divisão termo a termo:
\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2} = \frac{\dfrac{x^{4}}{x^{3}}-\dfrac{3x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{x}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{x}{x^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}} = \frac{x-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 4

Analise os limites das partes que aparecem:
  • O termo \dfrac{3}{x} tende a 0 quando x\to\infty.
  • O termo \dfrac{1}{x^{2}} tende a 0.
  • O termo \dfrac{1}{x^{2}} (no denominador) tende a 0.
  • O termo \dfrac{2}{x^{3}} tende a 0.
Portanto, no numerador a expressão x-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}} tem comportamento dominado por x e tende a +\infty quando x\to\infty. No denominador a expressão 1-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}} tende a 1.

Passo 5

Combinando os resultados do passo anterior:
\frac{x-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}} \longrightarrow \frac{+\infty}{1}=+\infty.
Logo o limite da fração original é +\infty.

Passo 6

Para ficar mais rigoroso sobre o sinal positivo: para x grande (por exemplo x\ge 2) temos \dfrac{1}{x^{2}}\le \dfrac{1}{4} e \dfrac{2}{x^{3}}\le \dfrac{1}{4}, então o denominador satisfaz
1-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}\ge 1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}>0.
Assim, para x suficientemente grande a fração tem o mesmo sinal do numerador. Como o numerador cresce sem limite positivo (é aproximadamente x para x grande), a fração tende para +\infty.

Passo 7

Resumo prático (dica para prova): quando tiver uma razão de polinômios, compare os graus n\) (numerador) e \(m\) (denominador). \[\begin{cases} n>m \Rightarrow \text{o limite é }+\infty\text{ ou }-\infty \text{ (conferir sinal pelos coeficientes líderes)},\\[4pt] n=m \Rightarrow \text{o limite é a razão dos coeficientes líderes},\\[4pt] n<m \Rightarrow \text{o limite é }0. \end{cases}
No nosso caso n=4>m=3\], coeficiente líder do numerador é \(1 (positivo) e do denominador é 1 (positivo), então o limite é +\infty.]

Resposta

+\infty

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